Страница 98 номер 2.135, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Найдите значение выражения \(1-a^2\) при:
а) \(a=\sqrt{5}\);
б) \(a=\sqrt{5}-1\);
в) \(a=1-\sqrt{5}\);
г) \(a=1+\sqrt{5}\).
а) \[1 - a^2 = 1 - (\sqrt{5})^2 = 1 - 5 = -4.\]
б) \[\begin{aligned} &1 - a^2 = 1 - (\sqrt{5} - 1)^2 = 1 - (5 - 2\sqrt{5} + 1) = {} \\ &= 1 - 6 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 5. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} &1 - a^2 = 1 - (1 - \sqrt{5})^2 = 1 - (1 - 2\sqrt{5} + 5) = {} \\ &= 1 - 6 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 5. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} &1 - a^2 = 1 - (1 + \sqrt{5})^2 = 1 - (1 + 2\sqrt{5} + 5) = {} \\ &= 1 - 6 - 2\sqrt{5} = -2\sqrt{5} - 5. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-4\); б) \(2\sqrt{5} - 5\); в) \(2\sqrt{5} - 5\); г) \(-2\sqrt{5} - 5\).
Найдите значение выражения \(1-a^2\) при:
а) \(a=\sqrt{5}\);
б) \(a=\sqrt{5}-1\);
в) \(a=1-\sqrt{5}\);
г) \(a=1+\sqrt{5}\).
Подставляем значение \(a\) в выражение и возводим в квадрат по формулам квадрата разности и квадрата суммы.
а) При \(a = \sqrt{5}\): \[1 - a^2 = 1 - (\sqrt{5})^2 = 1 - 5 = -4.\]
б) При \(a = \sqrt{5} - 1\): \[\begin{aligned} &1 - a^2 = 1 - (\sqrt{5} - 1)^2 = 1 - (5 - 2\sqrt{5} + 1) = {} \\ &= 1 - 6 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 5. \end{aligned}\]
в) При \(a = 1 - \sqrt{5}\): \[\begin{aligned} &1 - a^2 = 1 - (1 - \sqrt{5})^2 = 1 - (1 - 2\sqrt{5} + 5) = {} \\ &= 1 - 6 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 5. \end{aligned}\]
Получилось то же значение, что и при \(a = \sqrt{5} - 1\): числа \(1 - \sqrt{5}\) и \(\sqrt{5} - 1\) противоположны, а квадраты противоположных чисел равны.
г) При \(a = 1 + \sqrt{5}\): \[\begin{aligned} &1 - a^2 = 1 - (1 + \sqrt{5})^2 = 1 - (1 + 2\sqrt{5} + 5) = {} \\ &= 1 - 6 - 2\sqrt{5} = -2\sqrt{5} - 5. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-4\); б) \(2\sqrt{5} - 5\); в) \(2\sqrt{5} - 5\); г) \(-2\sqrt{5} - 5\).
