Вопросы после параграфа 2.7 на странице 97, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Подобны слагаемые \(5\sqrt{3}\), \(-4\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\) — у каждого под корнем число 3, а слагаемое \(\sqrt{5}\) им не подобно: \[\underline{5\sqrt{3}} + \sqrt{5} \underline{{}- 4\sqrt{3}} + \underline{\sqrt{3}}.\]
Складываем коэффициенты подобных радикалов: \[5\sqrt{3} + \sqrt{5} - 4\sqrt{3} + \sqrt{3} = (5 - 4 + 1)\sqrt{3} + \sqrt{5} = 2\sqrt{3} + \sqrt{5}.\]
Ответ: подобные радикалы — \(5\sqrt{3}\), \(-4\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\); \(5\sqrt{3} + \sqrt{5} - 4\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + \sqrt{5}\).
Выражение \((\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - \sqrt{2})\) — произведение суммы выражений \(2\sqrt{3}\) и \(\sqrt{2}\) и их разности. Для его преобразования использована формула \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\): \[(\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3 - 2 = 10.\]
Выражение \((\sqrt{3} - \sqrt{2})^2\) — квадрат разности, для него подходит формула \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \[\begin{aligned} &(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = {} \\ &= 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}. \end{aligned}\]
Ответ: для преобразования выражения \((\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - \sqrt{2})\) использована формула \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\); для выражения \((\sqrt{3} - \sqrt{2})^2\) — формула квадрата разности \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), и \((\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{6}\).
В знаменателе стоит множитель \(\sqrt{3}\). Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): получится дробь, равная данной, а в знаменателе корня не останется, так как \((\sqrt{3})^2 = 3\): \[\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{3(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{15}}{9}.\]
Ответ: числитель и знаменатель дроби нужно умножить на \(\sqrt{3}\); \(\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{9}\).
По определению арифметического квадратного корня равенство \(\sqrt{x^2} = |x|\) означает выполнение двух условий: \(|x| \geqslant 0\) и \(|x|^2 = x^2\).
Первое условие выполняется при любом \(x\): модуль числа — число неотрицательное.
Если \(x \geqslant 0\), то \(|x| = x\) и \(|x|^2 = x^2\).
Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\) и \(|x|^2 = (-x)^2 = x^2\).
Значит, \(\sqrt{x^2} = |x|\) при любом \(x\).
\[\begin{aligned} \sqrt{17^2} &= |17| = 17; \\ \sqrt{(-3{,}2)^2} &= |{-3{,}2}| = 3{,}2. \end{aligned}\]
При \(c > 0\) модуль \(|c| = c\), поэтому \(\sqrt{c^2} = |c| = c\).
При \(a < 0\) модуль \(|a| = -a\), поэтому \(\sqrt{a^2} = |a| = -a\).
Ответ: \(\sqrt{x^2} = |x|\) при любом \(x\), так как \(|x| \geqslant 0\) и \(|x|^2 = x^2\); \(\sqrt{17^2} = 17\); \(\sqrt{(-3{,}2)^2} = 3{,}2\); \(\sqrt{c^2} = c\) при \(c > 0\); \(\sqrt{a^2} = -a\) при \(a < 0\).
Подобные радикалы — это выражения с одним и тем же подкоренным выражением; коэффициенты перед корнем у них могут быть любыми. В этой сумме подобны слагаемые \(5\sqrt{3}\), \(-4\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\) — у каждого под корнем число 3, а слагаемое \(\sqrt{5}\) им не подобно: \[\underline{5\sqrt{3}} + \sqrt{5} \underline{{}- 4\sqrt{3}} + \underline{\sqrt{3}}.\]
По правилу приведения подобных слагаемых складываем коэффициенты подобных радикалов и приписываем общий множитель \(\sqrt{3}\): \[5\sqrt{3} + \sqrt{5} - 4\sqrt{3} + \sqrt{3} = (5 - 4 + 1)\sqrt{3} + \sqrt{5} = 2\sqrt{3} + \sqrt{5}.\]
Ответ: подобные радикалы — \(5\sqrt{3}\), \(-4\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\); \(5\sqrt{3} + \sqrt{5} - 4\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + \sqrt{5}\).
Выражение \((\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - \sqrt{2})\) — произведение суммы выражений \(2\sqrt{3}\) и \(\sqrt{2}\) и их разности. Для его преобразования использована формула произведения суммы двух выражений и их разности \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\): \[(\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3 - 2 = 10.\]
Выражение \((\sqrt{3} - \sqrt{2})^2\) — квадрат разности двух выражений, для него подходит формула квадрата разности \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \[\begin{aligned} &(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = {} \\ &= 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}. \end{aligned}\]
Ответ: для преобразования выражения \((\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - \sqrt{2})\) использована формула \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\); для выражения \((\sqrt{3} - \sqrt{2})^2\) — формула квадрата разности \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), и \((\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{6}\).
В знаменателе дроби стоит множитель \(\sqrt{3}\). Умножим числитель и знаменатель дроби на \(\sqrt{3}\): по основному свойству дроби получится дробь, равная данной, а в знаменателе корня не останется, так как \((\sqrt{3})^2 = 3\): \[\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{3(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{15}}{9}.\]
Ответ: числитель и знаменатель дроби нужно умножить на \(\sqrt{3}\); \(\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{9}\).
По определению арифметического квадратного корня равенство \(\sqrt{x^2} = |x|\) означает одновременное выполнение двух условий: \(|x| \geqslant 0\) и \(|x|^2 = x^2\).
Первое условие выполняется при любом \(x\): модуль числа — число неотрицательное.
Второе условие проверим, рассмотрев два случая.
Если \(x \geqslant 0\), то \(|x| = x\) и \(|x|^2 = x^2\).
Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\) и \(|x|^2 = (-x)^2 = x^2\).
Значит, при любом \(x\) число \(|x|\) неотрицательно и его квадрат равен \(x^2\), поэтому \(\sqrt{x^2} = |x|\).
Упростим выражения с помощью этого равенства: \[\begin{aligned} \sqrt{17^2} &= |17| = 17; \\ \sqrt{(-3{,}2)^2} &= |{-3{,}2}| = 3{,}2. \end{aligned}\]
При \(c > 0\) модуль \(|c| = c\), поэтому \(\sqrt{c^2} = |c| = c\). При \(a < 0\) модуль \(|a| = -a\), поэтому \(\sqrt{a^2} = |a| = -a\).
Ответ: \(\sqrt{x^2} = |x|\) при любом \(x\), так как \(|x| \geqslant 0\) и \(|x|^2 = x^2\); \(\sqrt{17^2} = 17\); \(\sqrt{(-3{,}2)^2} = 3{,}2\); \(\sqrt{c^2} = c\) при \(c > 0\); \(\sqrt{a^2} = -a\) при \(a < 0\).
