Страница 95 номер 2.126, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАССУЖДАЕМ. Расположите в порядке возрастания:
а) \(\frac{1}{\sqrt{10}}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\); в) \(\sqrt{\frac{3}{5}}\), \(2\sqrt{0{,}2}\), 1;
б) \(\frac{1}{3\sqrt{2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{17}}\), \(\frac{1}{4}\); г) \(0{,}5\), \(\frac{\sqrt{2}}{3}\), \(\frac{\sqrt{3}}{4}\).
Все данные числа положительны.
а) У всех дробей числитель 1, а знаменатели положительны, поэтому из двух дробей больше та, у которой знаменатель меньше. \[\begin{aligned} 3 &= \sqrt{9}; \\ 2\sqrt{2} &= \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}. \end{aligned}\] Так как \(8 < 9 < 10\), то \(\sqrt{8} < \sqrt{9} < \sqrt{10}\), то есть \(2\sqrt{2} < 3 < \sqrt{10}\). Значит, \(\frac{1}{\sqrt{10}} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}}\).
б) И здесь у всех дробей числитель 1, поэтому сравним знаменатели: \[\begin{aligned} 3\sqrt{2} &= \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}; \\ 4 &= \sqrt{16}. \end{aligned}\] Так как \(16 < 17 < 18\), то \(\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{18}\), то есть \(4 < \sqrt{17} < 3\sqrt{2}\). Значит, \(\frac{1}{3\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt{17}} < \frac{1}{4}\).
в) \[\begin{aligned} \sqrt{\frac{3}{5}} &= \sqrt{0{,}6}; \\ 2\sqrt{0{,}2} &= \sqrt{4 \cdot 0{,}2} = \sqrt{0{,}8}; \\ 1 &= \sqrt{1}. \end{aligned}\] Так как \(0{,}6 < 0{,}8 < 1\), то \(\sqrt{0{,}6} < \sqrt{0{,}8} < \sqrt{1}\), то есть \(\sqrt{\frac{3}{5}} < 2\sqrt{0{,}2} < 1\).
г) \[\begin{aligned} 0{,}5 &= \sqrt{0{,}25} = \sqrt{\frac{1}{4}}; \\ \frac{\sqrt{2}}{3} &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \sqrt{\frac{2}{9}}; \\ \frac{\sqrt{3}}{4} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}} = \sqrt{\frac{3}{16}}. \end{aligned}\] \(\frac{1}{4} = \frac{36}{144}\), \(\frac{2}{9} = \frac{32}{144}\), \(\frac{3}{16} = \frac{27}{144}\). Так как \(\frac{27}{144} < \frac{32}{144} < \frac{36}{144}\), то \(\frac{\sqrt{3}}{4} < \frac{\sqrt{2}}{3} < 0{,}5\).
Ответ: а) \(\frac{1}{\sqrt{10}} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}}\); б) \(\frac{1}{3\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt{17}} < \frac{1}{4}\); в) \(\sqrt{\frac{3}{5}} < 2\sqrt{0{,}2} < 1\); г) \(\frac{\sqrt{3}}{4} < \frac{\sqrt{2}}{3} < 0{,}5\).
РАССУЖДАЕМ. Расположите в порядке возрастания:
а) \(\frac{1}{\sqrt{10}}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\); в) \(\sqrt{\frac{3}{5}}\), \(2\sqrt{0{,}2}\), 1;
б) \(\frac{1}{3\sqrt{2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{17}}\), \(\frac{1}{4}\); г) \(0{,}5\), \(\frac{\sqrt{2}}{3}\), \(\frac{\sqrt{3}}{4}\).
Все данные числа положительны. Сравнивать будем корни: из двух корней из положительных чисел больше тот, у которого больше подкоренное число, — квадраты этих корней равны подкоренным числам, а из двух положительных чисел больше то, квадрат которого больше.
а) У всех дробей числитель 1, а знаменатели положительны, поэтому из двух дробей больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели, внеся множитель под знак корня и записав 3 как корень: \[\begin{aligned} 3 &= \sqrt{9}; \\ 2\sqrt{2} &= \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}. \end{aligned}\] Так как \(8 < 9 < 10\), то \(\sqrt{8} < \sqrt{9} < \sqrt{10}\), то есть \(2\sqrt{2} < 3 < \sqrt{10}\). Значит, \(\frac{1}{\sqrt{10}} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}}\).
б) И здесь у всех дробей числитель 1, поэтому сравним знаменатели: \[\begin{aligned} 3\sqrt{2} &= \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}; \\ 4 &= \sqrt{16}. \end{aligned}\] Так как \(16 < 17 < 18\), то \(\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{18}\), то есть \(4 < \sqrt{17} < 3\sqrt{2}\). Значит, \(\frac{1}{3\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt{17}} < \frac{1}{4}\).
в) Внесём множитель под знак корня, дробь \(\frac{3}{5}\) под корнем запишем десятичной, а число 1 — как корень: \[\begin{aligned} \sqrt{\frac{3}{5}} &= \sqrt{0{,}6}; \\ 2\sqrt{0{,}2} &= \sqrt{4 \cdot 0{,}2} = \sqrt{0{,}8}; \\ 1 &= \sqrt{1}. \end{aligned}\] Так как \(0{,}6 < 0{,}8 < 1\), то \(\sqrt{0{,}6} < \sqrt{0{,}8} < \sqrt{1}\), то есть \(\sqrt{\frac{3}{5}} < 2\sqrt{0{,}2} < 1\).
г) Запишем каждое число как корень из дроби, два последних — по правилу деления корней: \[\begin{aligned} 0{,}5 &= \sqrt{0{,}25} = \sqrt{\frac{1}{4}}; \\ \frac{\sqrt{2}}{3} &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \sqrt{\frac{2}{9}}; \\ \frac{\sqrt{3}}{4} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}} = \sqrt{\frac{3}{16}}. \end{aligned}\] Приведём подкоренные дроби к общему знаменателю 144: \(\frac{1}{4} = \frac{36}{144}\), \(\frac{2}{9} = \frac{32}{144}\), \(\frac{3}{16} = \frac{27}{144}\). Так как \(\frac{27}{144} < \frac{32}{144} < \frac{36}{144}\), то \(\frac{\sqrt{3}}{4} < \frac{\sqrt{2}}{3} < 0{,}5\).
Ответ: а) \(\frac{1}{\sqrt{10}} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}}\); б) \(\frac{1}{3\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt{17}} < \frac{1}{4}\); в) \(\sqrt{\frac{3}{5}} < 2\sqrt{0{,}2} < 1\); г) \(\frac{\sqrt{3}}{4} < \frac{\sqrt{2}}{3} < 0{,}5\).
