Страница 98 номер 304, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень

Успех — задача решена, неудача — не решена. Будем считать, что Олег решает каждую задачу независимо от остальных. Тогда 10 задач — серия из 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p = 0{,}75 = \frac{3}{4}\) и вероятностью неудачи \(q = 1 - p = \frac{1}{4}\). По формуле Бернулли вероятность того, что Олег решит ровно \(k\) задач, равна \[C_{10}^{k} p^{k} q^{10 - k} = C_{10}^{k} \cdot \frac{3^{k}}{4^{k}} \cdot \frac{1}{4^{10 - k}} = \frac{C_{10}^{k} \cdot 3^{k}}{4^{10}}.\]

Здесь \(4^{10} = 1\,048\,576\).

а) Решить все задачи — это 10 успехов; вероятность этого события равна \[\frac{C_{10}^{10} \cdot 3^{10}}{4^{10}} = \frac{59\,049}{1\,048\,576} \approx 0{,}056.\]

б) Не менее 8 задач — это ровно 8, ровно 9 или ровно 10 задач; эти события несовместны. Вероятности решить ровно 8 и ровно 9 задач равны \(\frac{C_{10}^{8} \cdot 3^{8}}{4^{10}} = \frac{45 \cdot 6561}{1\,048\,576} = \frac{295\,245}{1\,048\,576}\) и \(\frac{C_{10}^{9} \cdot 3^{9}}{4^{10}} = \frac{10 \cdot 19\,683}{1\,048\,576} = \frac{196\,830}{1\,048\,576}\). Значит, Олег решит не менее 8 задач с вероятностью \[\begin{aligned} &\frac{295\,245 + 196\,830 + 59\,049}{1\,048\,576} = \frac{551\,124}{1\,048\,576} = {} \\ &= \frac{137\,781}{262\,144} \approx 0{,}526. \end{aligned}\]

в) Не менее 6 задач — это ровно 6, ровно 7 или не менее 8 задач; эти события несовместны. Вероятности решить ровно 6 и ровно 7 задач равны \(\frac{C_{10}^{6} \cdot 3^{6}}{4^{10}} = \frac{210 \cdot 729}{1\,048\,576} = \frac{153\,090}{1\,048\,576}\) и \(\frac{C_{10}^{7} \cdot 3^{7}}{4^{10}} = \frac{120 \cdot 2187}{1\,048\,576} = \frac{262\,440}{1\,048\,576}\). Значит, Олег решит не менее 6 задач с вероятностью \[\begin{aligned} &\frac{153\,090 + 262\,440 + 551\,124}{1\,048\,576} = \frac{966\,654}{1\,048\,576} = {} \\ &= \frac{483\,327}{524\,288} \approx 0{,}922. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(\approx 0{,}056\); б) \(\approx 0{,}526\); в) \(\approx 0{,}922\).