Страница 101 номер 308, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Игральную кость бросили 8 раз. Известно, что шестёрка выпала трижды. Найдите вероятность того, что в первых 4 бросаниях: а) не было ни одной шестёрки; б) была ровно одна шестёрка; в) выпало две шестёрки; г) шестёрка выпала трижды.
Каждое бросание кости — испытание Бернулли: успех — шестёрка, \(p = \frac{1}{6}\), неудача — любое другое число очков, \(q = \frac{5}{6}\). Каждое элементарное событие серии из 8 испытаний с тремя успехами имеет одну и ту же вероятность \(p^{3}q^{5}\), поэтому при условии, что успехов три, все \(C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56\) таких элементарных событий равновозможны.
Каждое из них — выбор 3 номеров бросаний с шестёркой из 8: из 4 первых и \(8 - 4 = 4\) последних. Если в первых 4 бросаниях \(k\) шестёрок, то остальные \(3 - k\) — в последних 4, и по правилу умножения таких элементарных событий \(C_{4}^{k} \cdot C_{4}^{3 - k}\).
а) Ни одной шестёрки в первых 4 бросаниях — значит все 3 шестёрки выпали в последних 4; вероятность равна \[\frac{C_{4}^{0} \cdot C_{4}^{3}}{C_{8}^{3}} = \frac{1 \cdot 4}{56} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14} \approx 0{,}071.\]
б) Ровно одна шестёрка в первых 4 бросаниях и \(3 - 1 = 2\) в последних 4; вероятность равна \[\frac{C_{4}^{1} \cdot C_{4}^{2}}{C_{8}^{3}} = \frac{4 \cdot 6}{56} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \approx 0{,}429.\]
в) Две шестёрки в первых 4 бросаниях и \(3 - 2 = 1\) в последних 4; вероятность равна \[\frac{C_{4}^{2} \cdot C_{4}^{1}}{C_{8}^{3}} = \frac{6 \cdot 4}{56} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \approx 0{,}429.\]
г) Все три шестёрки в первых 4 бросаниях, в последних 4 — ни одной; вероятность равна \[\frac{C_{4}^{3} \cdot C_{4}^{0}}{C_{8}^{3}} = \frac{4 \cdot 1}{56} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14} \approx 0{,}071.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}071\); б) \(\approx 0{,}429\); в) \(\approx 0{,}429\); г) \(\approx 0{,}071\).
Игральную кость бросили 8 раз. Известно, что шестёрка выпала трижды. Найдите вероятность того, что в первых 4 бросаниях: а) не было ни одной шестёрки; б) была ровно одна шестёрка; в) выпало две шестёрки; г) шестёрка выпала трижды.
Каждое бросание кости — испытание Бернулли: успех — выпадение шестёрки, \(p = \frac{1}{6}\), неудача — любое другое число очков, \(q = \frac{5}{6}\). Каждое элементарное событие серии из 8 испытаний с тремя успехами имеет одну и ту же вероятность \(p^{3}q^{5}\), поэтому при условии, что успехов три, все \(C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56\) таких элементарных событий равновозможны. Каждое из них определяется тем, при каких 3 бросаниях из 8 выпала шестёрка, — это выбор 3 номеров бросаний из 8: из 4 первых и \(8 - 4 = 4\) последних. Если в первых 4 бросаниях \(k\) шестёрок, то остальные \(3 - k\) — в последних 4, и по правилу умножения таких элементарных событий \(C_{4}^{k} \cdot C_{4}^{3 - k}\).
а) Ни одной шестёрки в первых 4 бросаниях — значит все 3 шестёрки выпали в последних 4. Вероятность этого события равна \[\frac{C_{4}^{0} \cdot C_{4}^{3}}{C_{8}^{3}} = \frac{1 \cdot 4}{56} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14} \approx 0{,}071.\]
б) Ровно одна шестёрка в первых 4 бросаниях и \(3 - 1 = 2\) в последних 4; вероятность этого события равна \[\frac{C_{4}^{1} \cdot C_{4}^{2}}{C_{8}^{3}} = \frac{4 \cdot 6}{56} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \approx 0{,}429.\]
в) Две шестёрки в первых 4 бросаниях и \(3 - 2 = 1\) в последних 4; вероятность этого события равна \[\frac{C_{4}^{2} \cdot C_{4}^{1}}{C_{8}^{3}} = \frac{6 \cdot 4}{56} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \approx 0{,}429.\]
г) Все три шестёрки в первых 4 бросаниях, в последних 4 — ни одной; вероятность этого события равна \[\frac{C_{4}^{3} \cdot C_{4}^{0}}{C_{8}^{3}} = \frac{4 \cdot 1}{56} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14} \approx 0{,}071.\]
Проверка: других случаев нет, и \(\frac{4 + 24 + 24 + 4}{56} = \frac{56}{56} = 1\).
Ответ: а) \(\approx 0{,}071\); б) \(\approx 0{,}429\); в) \(\approx 0{,}429\); г) \(\approx 0{,}071\).
