Страница 101 номер 307, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Симметричную монету бросили 9 раз. Известно, что орёл выпал 6 раз. Найдите вероятность того, что среди первых 5 бросаний выпало ровно: а) 3 орла; б) 1 орёл; в) 3 решки; г) 1 решка.
Каждое бросание монеты — испытание Бернулли: успех — орёл, неудача — решка, \(p = q = \frac{1}{2}\). Каждое элементарное событие серии из 9 испытаний с шестью успехами имеет одну и ту же вероятность \(p^{6}q^{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{9}\), поэтому при условии, что успехов шесть, все \(C_{9}^{6} = C_{9}^{3} = 84\) таких элементарных событий равновозможны. Каждое из них — выбор 6 номеров бросаний с орлом из 9: из 5 первых и \(9 - 5 = 4\) последних.
а) Если среди первых 5 бросаний ровно 3 орла, то остальные \(6 - 3 = 3\) орла выпали в 4 последних бросаниях. Номера бросаний с орлами выбираются \(C_{5}^{3} = 10\) способами среди первых 5 и \(C_{4}^{3} = 4\) способами среди последних 4; по правилу умножения таких элементарных событий \(10 \cdot 4 = 40\), и вероятность равна \[\frac{C_{5}^{3} \cdot C_{4}^{3}}{C_{9}^{6}} = \frac{10 \cdot 4}{84} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21} \approx 0{,}476.\]
б) Если среди первых 5 бросаний орёл выпал 1 раз, то остальные \(6 - 1 = 5\) орлов должны выпасть в 4 последних бросаниях, а это невозможно; вероятность равна 0.
в) Ровно 3 решки среди первых 5 бросаний — это \(5 - 3 = 2\) орла, а остальные \(6 - 2 = 4\) орла выпали во всех 4 последних бросаниях; вероятность равна \[\frac{C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{4}}{C_{9}^{6}} = \frac{10 \cdot 1}{84} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42} \approx 0{,}119.\]
г) Ровно 1 решка среди первых 5 бросаний — это \(5 - 1 = 4\) орла, а остальные \(6 - 4 = 2\) орла выпали в каких-то 2 из 4 последних бросаний; вероятность равна \[\frac{C_{5}^{4} \cdot C_{4}^{2}}{C_{9}^{6}} = \frac{5 \cdot 6}{84} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14} \approx 0{,}357.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}476\); б) 0; в) \(\approx 0{,}119\); г) \(\approx 0{,}357\).
Симметричную монету бросили 9 раз. Известно, что орёл выпал 6 раз. Найдите вероятность того, что среди первых 5 бросаний выпало ровно: а) 3 орла; б) 1 орёл; в) 3 решки; г) 1 решка.
Каждое бросание монеты — испытание Бернулли: успех — выпадение орла, неудача — выпадение решки, \(p = q = \frac{1}{2}\). Каждое элементарное событие серии из 9 испытаний с шестью успехами имеет одну и ту же вероятность \(p^{6}q^{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{9}\), поэтому при условии, что успехов шесть, все \(C_{9}^{6} = C_{9}^{3} = 84\) таких элементарных событий равновозможны. Каждое из них определяется тем, при каких 6 бросаниях из 9 выпал орёл, — это выбор 6 номеров бросаний из 9: из 5 первых и \(9 - 5 = 4\) последних.
а) Если среди первых 5 бросаний ровно 3 орла, то остальные \(6 - 3 = 3\) орла выпали в 4 последних бросаниях. Номера бросаний с орлами среди первых 5 можно выбрать \(C_{5}^{3} = 10\) способами, среди последних 4 — \(C_{4}^{3} = 4\) способами. По правилу умножения таких элементарных событий \(10 \cdot 4 = 40\), и вероятность события «среди первых 5 бросаний ровно 3 орла» равна \[\frac{C_{5}^{3} \cdot C_{4}^{3}}{C_{9}^{6}} = \frac{10 \cdot 4}{84} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21} \approx 0{,}476.\]
б) Если среди первых 5 бросаний орёл выпал 1 раз, то остальные \(6 - 1 = 5\) орлов должны выпасть в 4 последних бросаниях, а это невозможно. Вероятность события «среди первых 5 бросаний ровно 1 орёл» равна 0.
в) Ровно 3 решки среди первых 5 бросаний — это \(5 - 3 = 2\) орла, а остальные \(6 - 2 = 4\) орла выпали во всех 4 последних бросаниях. Вероятность этого события равна \[\frac{C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{4}}{C_{9}^{6}} = \frac{10 \cdot 1}{84} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42} \approx 0{,}119.\]
г) Ровно 1 решка среди первых 5 бросаний — это \(5 - 1 = 4\) орла, а остальные \(6 - 4 = 2\) орла выпали в каких-то 2 из 4 последних бросаний. Вероятность этого события равна \[\frac{C_{5}^{4} \cdot C_{4}^{2}}{C_{9}^{6}} = \frac{5 \cdot 6}{84} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14} \approx 0{,}357.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}476\); б) 0; в) \(\approx 0{,}119\); г) \(\approx 0{,}357\).
