Страница 98 номер 303, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Перед началом шахматной партии с помощью жребия игроки определяют, кто играет белыми, а кто — чёрными. Остап Бендер проводит сеанс одновременной игры с любителями шахмат города Васюки на 12 досках. Найдите вероятность того, что он будет играть белыми: а) ровно на 3 досках; б) ровно на 5 досках; в) хотя бы на 1 доске; г) по крайней мере на 2 досках.
Успех — Остап Бендер играет белыми, неудача — чёрными. Жребий даёт белые каждому из двух игроков с вероятностью \(\frac{1}{2}\), поэтому \(p = q = \frac{1}{2}\). Сеанс на 12 досках — серия из 12 испытаний Бернулли, и по формуле Бернулли вероятность играть белыми ровно на \(k\) досках равна \[C_{12}^{k} p^{k} q^{12 - k} = C_{12}^{k} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{12} = \frac{C_{12}^{k}}{4096}.\]
а) \(C_{12}^{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 220\), и вероятность играть белыми ровно на 3 досках равна \[\frac{C_{12}^{3}}{4096} = \frac{220}{4096} = \frac{55}{1024} \approx 0{,}054.\]
б) \(C_{12}^{5} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 792\), и вероятность играть белыми ровно на 5 досках равна \[\frac{C_{12}^{5}}{4096} = \frac{792}{4096} = \frac{99}{512} \approx 0{,}193.\]
в) Противоположное событие — «белыми ни на одной доске», его вероятность равна \(\frac{C_{12}^{0}}{4096} = \frac{1}{4096}\). Значит, вероятность играть белыми хотя бы на 1 доске равна \[1 - \frac{1}{4096} = \frac{4095}{4096} \approx 0{,}9998.\]
г) Противоположное событие — «белыми ни на одной доске или ровно на 1 доске», его вероятность равна \(\frac{C_{12}^{0} + C_{12}^{1}}{4096} = \frac{1 + 12}{4096} = \frac{13}{4096}\). Значит, вероятность играть белыми по крайней мере на 2 досках равна \[1 - \frac{13}{4096} = \frac{4083}{4096} \approx 0{,}997.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}054\); б) \(\approx 0{,}193\); в) \(\approx 0{,}9998\); г) \(\approx 0{,}997\).
Перед началом шахматной партии с помощью жребия игроки определяют, кто играет белыми, а кто — чёрными. Остап Бендер проводит сеанс одновременной игры с любителями шахмат города Васюки на 12 досках. Найдите вероятность того, что он будет играть белыми: а) ровно на 3 досках; б) ровно на 5 досках; в) хотя бы на 1 доске; г) по крайней мере на 2 досках.
Каждая партия — испытание Бернулли: успех — Остап Бендер играет белыми, неудача — чёрными. Жребий даёт белые каждому из двух игроков с вероятностью \(\frac{1}{2}\), поэтому \(p = q = \frac{1}{2}\). Сеанс на 12 досках — серия из 12 испытаний Бернулли, и по формуле Бернулли вероятность того, что Остап Бендер будет играть белыми ровно на \(k\) досках, равна \[C_{12}^{k} p^{k} q^{12 - k} = C_{12}^{k} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{12} = \frac{C_{12}^{k}}{4096}.\]
а) Здесь \(C_{12}^{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 220\), и вероятность играть белыми ровно на 3 досках равна \[\frac{C_{12}^{3}}{4096} = \frac{220}{4096} = \frac{55}{1024} \approx 0{,}054.\]
б) Здесь \(C_{12}^{5} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 792\), и вероятность играть белыми ровно на 5 досках равна \[\frac{C_{12}^{5}}{4096} = \frac{792}{4096} = \frac{99}{512} \approx 0{,}193.\]
в) Событие «белыми хотя бы на 1 доске» противоположно событию «белыми ни на одной доске», вероятность которого равна \(\frac{C_{12}^{0}}{4096} = \frac{1}{4096}\). Значит, вероятность играть белыми хотя бы на 1 доске равна \[1 - \frac{1}{4096} = \frac{4095}{4096} \approx 0{,}9998.\]
г) Событие «белыми по крайней мере на 2 досках» противоположно событию «белыми ни на одной доске или ровно на 1 доске», вероятность которого равна \(\frac{C_{12}^{0} + C_{12}^{1}}{4096} = \frac{1 + 12}{4096} = \frac{13}{4096}\). Значит, вероятность играть белыми по крайней мере на 2 досках равна \[1 - \frac{13}{4096} = \frac{4083}{4096} \approx 0{,}997.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}054\); б) \(\approx 0{,}193\); в) \(\approx 0{,}9998\); г) \(\approx 0{,}997\).
