Страница 98 номер 301, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В некотором испытании Бернулли неудача наступает с вероятностью \(q = \frac{1}{3}\). Найдите вероятность того, что в серии из 5 таких испытаний: а) наступит ровно 2 успеха; б) наступит ровно 1 успех; в) наступит более 2 успехов; г) наступит менее 4 успехов.
\(p = 1 - q = \frac{2}{3}\) — вероятность успеха. По формуле Бернулли в серии из 5 таких испытаний вероятность события «ровно \(k\) успехов» равна \[C_{5}^{k} p^{k} q^{5 - k} = C_{5}^{k} \cdot \frac{2^{k}}{3^{k}} \cdot \frac{1}{3^{5 - k}} = \frac{C_{5}^{k} \cdot 2^{k}}{3^{5}} = \frac{C_{5}^{k} \cdot 2^{k}}{243}.\]
По 5-й строке треугольника Паскаля \(C_{5}^{0} = 1\), \(C_{5}^{1} = 5\), \(C_{5}^{2} = 10\), \(C_{5}^{3} = 10\), \(C_{5}^{4} = 5\), \(C_{5}^{5} = 1\).
а) Вероятность события «ровно 2 успеха» равна \[\frac{C_{5}^{2} \cdot 2^{2}}{243} = \frac{10 \cdot 4}{243} = \frac{40}{243} \approx 0{,}165.\]
б) Вероятность события «ровно 1 успех» равна \[\frac{C_{5}^{1} \cdot 2^{1}}{243} = \frac{5 \cdot 2}{243} = \frac{10}{243} \approx 0{,}041.\]
в) Более 2 успехов — это ровно 3, 4 или 5 успехов; эти события несовместны, поэтому вероятность равна \[\begin{aligned} &\frac{C_{5}^{3} \cdot 2^{3} + C_{5}^{4} \cdot 2^{4} + C_{5}^{5} \cdot 2^{5}}{243} = \frac{80 + 80 + 32}{243} = {} \\ &= \frac{192}{243} = \frac{64}{81} \approx 0{,}790. \end{aligned}\]
г) Противоположное событие — «4 или 5 успехов», его вероятность равна \(\frac{C_{5}^{4} \cdot 2^{4} + C_{5}^{5} \cdot 2^{5}}{243} = \frac{80 + 32}{243} = \frac{112}{243}\). Значит, вероятность события «менее 4 успехов» равна \[1 - \frac{112}{243} = \frac{131}{243} \approx 0{,}539.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}165\); б) \(\approx 0{,}041\); в) \(\approx 0{,}790\); г) \(\approx 0{,}539\).
В некотором испытании Бернулли неудача наступает с вероятностью \(q = \frac{1}{3}\). Найдите вероятность того, что в серии из 5 таких испытаний: а) наступит ровно 2 успеха; б) наступит ровно 1 успех; в) наступит более 2 успехов; г) наступит менее 4 успехов.
Вероятность неудачи \(q = \frac{1}{3}\), поэтому вероятность успеха \(p = 1 - q = \frac{2}{3}\). По формуле Бернулли в серии из 5 таких испытаний вероятность события «ровно \(k\) успехов» равна \[C_{5}^{k} p^{k} q^{5 - k} = C_{5}^{k} \cdot \frac{2^{k}}{3^{k}} \cdot \frac{1}{3^{5 - k}} = \frac{C_{5}^{k} \cdot 2^{k}}{3^{5}} = \frac{C_{5}^{k} \cdot 2^{k}}{243}.\]
По 5-й строке треугольника Паскаля \(C_{5}^{0} = 1\), \(C_{5}^{1} = 5\), \(C_{5}^{2} = 10\), \(C_{5}^{3} = 10\), \(C_{5}^{4} = 5\), \(C_{5}^{5} = 1\).
а) Вероятность события «ровно 2 успеха» равна \[\frac{C_{5}^{2} \cdot 2^{2}}{243} = \frac{10 \cdot 4}{243} = \frac{40}{243} \approx 0{,}165.\]
б) Вероятность события «ровно 1 успех» равна \[\frac{C_{5}^{1} \cdot 2^{1}}{243} = \frac{5 \cdot 2}{243} = \frac{10}{243} \approx 0{,}041.\]
в) Более 2 успехов — это ровно 3, 4 или 5 успехов. Эти события несовместны, поэтому вероятность события «более 2 успехов» равна \[\begin{aligned} &\frac{C_{5}^{3} \cdot 2^{3} + C_{5}^{4} \cdot 2^{4} + C_{5}^{5} \cdot 2^{5}}{243} = \frac{80 + 80 + 32}{243} = {} \\ &= \frac{192}{243} = \frac{64}{81} \approx 0{,}790. \end{aligned}\]
г) Событие «менее 4 успехов» противоположно событию «4 или 5 успехов», вероятность которого равна \(\frac{C_{5}^{4} \cdot 2^{4} + C_{5}^{5} \cdot 2^{5}}{243} = \frac{80 + 32}{243} = \frac{112}{243}\). Значит, вероятность события «менее 4 успехов» равна \[1 - \frac{112}{243} = \frac{131}{243} \approx 0{,}539.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}165\); б) \(\approx 0{,}041\); в) \(\approx 0{,}790\); г) \(\approx 0{,}539\).
