Страница 98 номер 302, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью \(p = 0{,}4\). Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний: а) наступит более 2 успехов; б) наступит не более 2 неудач; в) не все испытания окончатся неудачей; г) наступит менее 4 успехов.
Серия из 4 испытаний Бернулли, \(p = 0{,}4\), \(q = 1 - p = 0{,}6\); вероятность события «ровно \(k\) успехов» находим по формуле Бернулли \(C_{4}^{k} p^{k} q^{4 - k}\).
По 4-й строке треугольника Паскаля \(C_{4}^{0} = 1\), \(C_{4}^{1} = 4\), \(C_{4}^{2} = 6\), \(C_{4}^{3} = 4\), \(C_{4}^{4} = 1\).
а) Более 2 успехов — это ровно 3 или ровно 4 успеха; эти события несовместны, поэтому вероятность равна \[\begin{aligned} &C_{4}^{3} p^{3} q^{1} + C_{4}^{4} p^{4} q^{0} = 4 \cdot 0{,}4^{3} \cdot 0{,}6 + 0{,}4^{4} = {} \\ &= 0{,}1536 + 0{,}0256 = 0{,}1792. \end{aligned}\]
б) Не более 2 неудач — значит не менее \(4 - 2 = 2\) успехов: ровно 2 успеха или более 2 успехов.
\(C_{4}^{2} p^{2} q^{2} = 6 \cdot 0{,}4^{2} \cdot 0{,}6^{2} = 0{,}3456\) — вероятность события «ровно 2 успеха», а вероятность события «более 2 успехов» из пункта а) равна 0,1792.
Эти события несовместны, поэтому вероятность события «не более 2 неудач» равна \[0{,}3456 + 0{,}1792 = 0{,}5248.\]
в) Противоположное событие — «все 4 испытания окончатся неудачей», то есть «0 успехов», его вероятность равна \(C_{4}^{0} p^{0} q^{4} = 0{,}6^{4} = 0{,}1296\). Значит, вероятность события «не все испытания окончатся неудачей» равна \[1 - 0{,}1296 = 0{,}8704.\]
г) Противоположное событие — «ровно 4 успеха», его вероятность равна \(C_{4}^{4} p^{4} q^{0} = 0{,}4^{4} = 0{,}0256\). Значит, вероятность события «менее 4 успехов» равна \[1 - 0{,}0256 = 0{,}9744.\]
Ответ: а) 0,1792; б) 0,5248; в) 0,8704; г) 0,9744.
В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью \(p = 0{,}4\). Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний: а) наступит более 2 успехов; б) наступит не более 2 неудач; в) не все испытания окончатся неудачей; г) наступит менее 4 успехов.
Это серия из 4 испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p = 0{,}4\) и вероятностью неудачи \(q = 1 - p = 0{,}6\). Вероятность события «ровно \(k\) успехов» находим по формуле Бернулли \(C_{4}^{k} p^{k} q^{4 - k}\); по 4-й строке треугольника Паскаля \(C_{4}^{0} = 1\), \(C_{4}^{1} = 4\), \(C_{4}^{2} = 6\), \(C_{4}^{3} = 4\), \(C_{4}^{4} = 1\).
а) Более 2 успехов — это ровно 3 или ровно 4 успеха. Эти события несовместны, поэтому вероятность события «более 2 успехов» равна \[\begin{aligned} &C_{4}^{3} p^{3} q^{1} + C_{4}^{4} p^{4} q^{0} = 4 \cdot 0{,}4^{3} \cdot 0{,}6 + 0{,}4^{4} = {} \\ &= 0{,}1536 + 0{,}0256 = 0{,}1792. \end{aligned}\]
б) Не более 2 неудач — значит не менее \(4 - 2 = 2\) успехов: ровно 2 успеха или более 2 успехов. Вероятность события «ровно 2 успеха» равна \(C_{4}^{2} p^{2} q^{2} = 6 \cdot 0{,}4^{2} \cdot 0{,}6^{2} = 0{,}3456\), вероятность события «более 2 успехов» найдена в пункте а) и равна 0,1792. Эти события несовместны, поэтому вероятность события «не более 2 неудач» равна \[0{,}3456 + 0{,}1792 = 0{,}5248.\]
в) Событие «не все испытания окончатся неудачей» противоположно событию «все 4 испытания окончатся неудачей», то есть «0 успехов». Вероятность этого противоположного события равна \(C_{4}^{0} p^{0} q^{4} = 0{,}6^{4} = 0{,}1296\), поэтому вероятность события «не все испытания окончатся неудачей» равна \[1 - 0{,}1296 = 0{,}8704.\]
г) Событие «менее 4 успехов» противоположно событию «ровно 4 успеха», вероятность которого равна \(C_{4}^{4} p^{4} q^{0} = 0{,}4^{4} = 0{,}0256\). Значит, вероятность события «менее 4 успехов» равна \[1 - 0{,}0256 = 0{,}9744.\]
Ответ: а) 0,1792; б) 0,5248; в) 0,8704; г) 0,9744.
