Страница 96 номер 292, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Докажите, что в серии из 15 испытаний Бернулли число исходов, благоприятствующих 6 успехам, равно числу исходов, благоприятствующих: а) 9 неудачам; б) 9 успехам; в) 6 неудачам.
Элементарное событие (исход) серии — последовательность из 15 букв У и Н. Исходов, благоприятствующих 6 успехам, столько, сколько способов выбрать 6 мест из 15 для букв У, то есть \(C_{15}^{6}\).
а) В каждом исходе с 6 успехами ровно \(15 - 6 = 9\) неудач, и, наоборот, в каждом исходе с 9 неудачами ровно \(15 - 9 = 6\) успехов. Значит, 6 успехам и 9 неудачам благоприятствуют одни и те же исходы, и число их одинаково.
б) Исходов, благоприятствующих 9 успехам, \(C_{15}^{9}\). Выбирая 9 мест для букв У, мы тем самым выбираем 6 оставшихся мест для букв Н — это один и тот же выбор, поэтому \(C_{15}^{9} = C_{15}^{6}\) (свойство симметричности чисел сочетаний).
в) Исход с 6 неудачами определяется тем, на каких 6 местах из 15 стоят буквы Н. Поэтому таких исходов столько, сколько способов выбрать 6 мест из 15, — \(C_{15}^{6}\), как и исходов с 6 успехами.
Ответ: в серии из 15 испытаний Бернулли 6 успехам благоприятствует \(C_{15}^{6}\) исходов, и столько же исходов благоприятствует а) 9 неудачам; б) 9 успехам; в) 6 неудачам.
Докажите, что в серии из 15 испытаний Бернулли число исходов, благоприятствующих 6 успехам, равно числу исходов, благоприятствующих: а) 9 неудачам; б) 9 успехам; в) 6 неудачам.
Элементарное событие (исход) серии из 15 испытаний Бернулли — последовательность из 15 букв У и Н. Исходов, благоприятствующих 6 успехам, столько, сколько способов выбрать 6 мест из 15 для букв У, то есть \(C_{15}^{6}\).
а) В каждом исходе с 6 успехами ровно \(15 - 6 = 9\) неудач, и, наоборот, в каждом исходе с 9 неудачами ровно \(15 - 9 = 6\) успехов. Значит, 6 успехам и 9 неудачам благоприятствуют одни и те же исходы, и число их одинаково.
б) Исходов, благоприятствующих 9 успехам, \(C_{15}^{9}\). Выбирая 9 мест для букв У, мы тем самым выбираем 6 оставшихся мест для букв Н — это один и тот же выбор, поэтому \(C_{15}^{9} = C_{15}^{6}\) (свойство симметричности чисел сочетаний).
в) Исход с 6 неудачами определяется тем, на каких 6 местах из 15 стоят буквы Н. Поэтому таких исходов столько, сколько способов выбрать 6 мест из 15, — \(C_{15}^{6}\), как и исходов с 6 успехами: названия «успех» и «неудача» условны, их можно поменять местами.
Ответ: в серии из 15 испытаний Бернулли 6 успехам благоприятствует \(C_{15}^{6}\) исходов, и столько же исходов благоприятствует а) 9 неудачам; б) 9 успехам; в) 6 неудачам.
