Страница 101 номер 310, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В ящике 8 болтов, из них 3 медных, остальные — стальные. Из ящика не глядя забирают 5 болтов. Найдите вероятность того, что среди выбранных болтов окажется: а) менее 2 медных; б) от 2 до 4 стальных.
Элементарное событие — набор из 5 взятых болтов. Болты берут не глядя, поэтому все такие наборы равновозможны, и их число \[N = C_{8}^{5} = C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56.\]
\(8 - 3 = 5\) — стальных болтов. Набор из \(k\) медных и \(5 - k\) стальных болтов по правилу умножения можно составить \(C_{3}^{k} \cdot C_{5}^{5 - k}\) способами.
а) Менее 2 медных — это 0 или 1 медный болт; эти события несовместны, поэтому вероятность равна \[\frac{C_{3}^{0} \cdot C_{5}^{5} + C_{3}^{1} \cdot C_{5}^{4}}{C_{8}^{5}} = \frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 5}{56} = \frac{16}{56} = \frac{2}{7} \approx 0{,}286.\]
б) От 2 до 4 стальных болтов — это 2, 3 или 4 стальных, то есть 3, 2 или 1 медный; эти события несовместны, поэтому вероятность равна \[\begin{aligned} &\frac{C_{3}^{3} \cdot C_{5}^{2} + C_{3}^{2} \cdot C_{5}^{3} + C_{3}^{1} \cdot C_{5}^{4}}{C_{8}^{5}} = {} \\ &= \frac{1 \cdot 10 + 3 \cdot 10 + 3 \cdot 5}{56} = \frac{55}{56} \approx 0{,}982. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}286\); б) \(\approx 0{,}982\).
В ящике 8 болтов, из них 3 медных, остальные — стальные. Из ящика не глядя забирают 5 болтов. Найдите вероятность того, что среди выбранных болтов окажется: а) менее 2 медных; б) от 2 до 4 стальных.
Элементарное событие — набор из 5 взятых болтов (выборка). Болты берут не глядя, поэтому все такие наборы равновозможны, и их число \[N = C_{8}^{5} = C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56.\]
Стальных болтов \(8 - 3 = 5\). Набор, в котором \(k\) медных и \(5 - k\) стальных болтов, по правилу умножения можно составить \(C_{3}^{k} \cdot C_{5}^{5 - k}\) способами.
а) Менее 2 медных — это 0 или 1 медный болт. Эти события несовместны, поэтому вероятность события «менее 2 медных» равна \[\frac{C_{3}^{0} \cdot C_{5}^{5} + C_{3}^{1} \cdot C_{5}^{4}}{C_{8}^{5}} = \frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 5}{56} = \frac{16}{56} = \frac{2}{7} \approx 0{,}286.\]
б) От 2 до 4 стальных болтов — это 2, 3 или 4 стальных, то есть 3, 2 или 1 медный. Эти события несовместны, поэтому вероятность события «от 2 до 4 стальных» равна \[\begin{aligned} &\frac{C_{3}^{3} \cdot C_{5}^{2} + C_{3}^{2} \cdot C_{5}^{3} + C_{3}^{1} \cdot C_{5}^{4}}{C_{8}^{5}} = {} \\ &= \frac{1 \cdot 10 + 3 \cdot 10 + 3 \cdot 5}{56} = \frac{55}{56} \approx 0{,}982. \end{aligned}\]
Тот же результат получается через противоположное событие. Меньше 2 стальных болтов среди 5 взятых быть не может, ведь медных всего 3. Поэтому противоположное событие — «все 5 болтов стальные», и \(1 - \frac{C_{5}^{5}}{C_{8}^{5}} = 1 - \frac{1}{56} = \frac{55}{56}\).
Ответ: а) \(\approx 0{,}286\); б) \(\approx 0{,}982\).
