Страница 94 номер 285, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Игральную кость бросают 4 раза. Найдите вероятность события, состоящего в том, что шестёрка выпадет: а) только при первом и третьем бросках; б) только при втором броске; в) ровно 3 раза — при первом, втором и четвёртом бросках.
Успех — выпадение шестёрки. Четыре броска — серия из четырёх испытаний Бернулли, в которой \(p = \frac{1}{6}\), а \(q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). Испытания серии независимы, поэтому по правилу умножения вероятностей каждому успеху соответствует множитель \(p\), каждой неудаче — множитель \(q\).
а) Шестёрка выпадает только при первом и третьем бросках — это элементарное событие УНУН с вероятностью
\[pqpq = p^{2}q^{2} = \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{2} = \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{25}{1296} \approx 0{,}019.\]
б) Шестёрка выпадает только при втором броске — это элементарное событие НУНН с вероятностью
\[qpqq = pq^{3} = \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} = \frac{125}{1296} \approx 0{,}096.\]
в) Шестёрка выпадает ровно 3 раза — при первом, втором и четвёртом бросках, — это элементарное событие УУНУ с вероятностью
\[ppqp = p^{3}q = \left(\frac{1}{6}\right)^{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{1296} \approx 0{,}004.\]
Ответ: а) \(\frac{25}{1296} \approx 0{,}019\); б) \(\frac{125}{1296} \approx 0{,}096\); в) \(\frac{5}{1296} \approx 0{,}004\).
Игральную кость бросают 4 раза. Найдите вероятность события, состоящего в том, что шестёрка выпадет: а) только при первом и третьем бросках; б) только при втором броске; в) ровно 3 раза — при первом, втором и четвёртом бросках.
Успех — выпадение шестёрки, неудача — выпадение любого другого числа очков. Каждый бросок кости — испытание Бернулли, четыре броска — серия из четырёх испытаний Бернулли, в которой \(p = \frac{1}{6}\), а \(q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). Испытания серии независимы, поэтому вероятность элементарного события находим по правилу умножения вероятностей: каждому успеху соответствует множитель \(p\), каждой неудаче — множитель \(q\).
а) Шестёрка выпадает только при первом и третьем бросках — это элементарное событие УНУН. Его вероятность равна \(pqpq = p^{2}q^{2}\), поэтому
\[p^{2}q^{2} = \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{2} = \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{25}{1296} \approx 0{,}019.\]
б) Шестёрка выпадает только при втором броске — это элементарное событие НУНН. Его вероятность равна \(qpqq = pq^{3}\), поэтому
\[pq^{3} = \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} = \frac{125}{1296} \approx 0{,}096.\]
в) Шестёрка выпадает ровно 3 раза — при первом, втором и четвёртом бросках, — это элементарное событие УУНУ. Его вероятность равна \(ppqp = p^{3}q\), поэтому
\[p^{3}q = \left(\frac{1}{6}\right)^{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{1296} \approx 0{,}004.\]
Ответ: а) \(\frac{25}{1296} \approx 0{,}019\); б) \(\frac{125}{1296} \approx 0{,}096\); в) \(\frac{5}{1296} \approx 0{,}004\).
