Страница 98 номер 295, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью \(p = 0{,}5\). Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний: а) наступит ровно 2 успеха; б) наступит ровно 1 успех; в) наступит ровно 3 успеха; г) все испытания окончатся неудачей.
Серия из 4 испытаний Бернулли, \(p = 0{,}5 = \frac{1}{2}\), \(q = 1 - p = \frac{1}{2}\); вероятность события «ровно \(k\) успехов» находим по формуле Бернулли \(C_{4}^{k} p^{k} q^{4 - k}\).
По 4-й строке треугольника Паскаля \(C_{4}^{0} = 1\), \(C_{4}^{1} = 4\), \(C_{4}^{2} = 6\), \(C_{4}^{3} = 4\), \(C_{4}^{4} = 1\).
а) Вероятность события «ровно 2 успеха» равна \[C_{4}^{2} p^{2} q^{2} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}.\]
б) Вероятность события «ровно 1 успех» равна \[C_{4}^{1} p^{1} q^{3} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}.\]
в) Вероятность события «ровно 3 успеха» равна \[C_{4}^{3} p^{3} q^{1} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}.\]
г) Все испытания окончатся неудачей — это 0 успехов; вероятность равна \[C_{4}^{0} p^{0} q^{4} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}.\]
Ответ: а) \(\frac{3}{8}\); б) \(\frac{1}{4}\); в) \(\frac{1}{4}\); г) \(\frac{1}{16}\).
В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью \(p = 0{,}5\). Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний: а) наступит ровно 2 успеха; б) наступит ровно 1 успех; в) наступит ровно 3 успеха; г) все испытания окончатся неудачей.
Это серия из 4 испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p = 0{,}5 = \frac{1}{2}\) и вероятностью неудачи \(q = 1 - p = \frac{1}{2}\). Вероятность события «ровно \(k\) успехов» находим по формуле Бернулли \(C_{4}^{k} p^{k} q^{4 - k}\); по 4-й строке треугольника Паскаля \(C_{4}^{0} = 1\), \(C_{4}^{1} = 4\), \(C_{4}^{2} = 6\), \(C_{4}^{3} = 4\), \(C_{4}^{4} = 1\).
а) Вероятность события «ровно 2 успеха» равна \[C_{4}^{2} p^{2} q^{2} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}.\]
б) Вероятность события «ровно 1 успех» равна \[C_{4}^{1} p^{1} q^{3} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}.\]
в) Вероятность события «ровно 3 успеха» равна \[C_{4}^{3} p^{3} q^{1} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}.\]
г) Все испытания окончатся неудачей — это 0 успехов; вероятность этого события равна \[C_{4}^{0} p^{0} q^{4} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}.\]
Ответ: а) \(\frac{3}{8}\); б) \(\frac{1}{4}\); в) \(\frac{1}{4}\); г) \(\frac{1}{16}\).
