Страница 101 номер 309, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В кармане у Сергея 10 монет: 4 двухрублёвые, остальные пятирублёвые. Сергей на ощупь вынимает из кармана 6 монет. Какова вероятность того, что среди оставшихся в кармане монет: а) окажутся ровно 2 двухрублёвые; б) не окажется ни одной пятирублёвой?
Элементарное событие — набор из 6 вынутых монет. Сергей вынимает монеты на ощупь, поэтому все такие наборы равновозможны, и их число \[N = C_{10}^{6} = C_{10}^{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 210.\]
\(10 - 4 = 6\) — пятирублёвых монет.
\(10 - 6 = 4\) — монеты остаются в кармане.
а) Среди 4 оставшихся монет ровно 2 двухрублёвые, если среди 6 вынутых \(4 - 2 = 2\) двухрублёвые и \(6 - 2 = 4\) пятирублёвые. По правилу умножения таких наборов \(C_{4}^{2} \cdot C_{6}^{4} = 6 \cdot 15 = 90\), и вероятность равна \[\frac{C_{4}^{2} \cdot C_{6}^{4}}{C_{10}^{6}} = \frac{90}{210} = \frac{3}{7} \approx 0{,}429.\]
б) Среди оставшихся монет не окажется ни одной пятирублёвой, если все 4 оставшиеся монеты двухрублёвые, то есть вынуты все 6 пятирублёвых монет. Такой набор один: \(C_{4}^{0} \cdot C_{6}^{6} = 1\), и вероятность равна \[\frac{C_{4}^{0} \cdot C_{6}^{6}}{C_{10}^{6}} = \frac{1}{210} \approx 0{,}005.\]
В ответе учебника — 0: это вероятность того, что ни одной пятирублёвой монеты не окажется среди вынутых (двухрублёвых монет всего четыре, поэтому среди шести вынутых пятирублёвая есть всегда).
Ответ: а) \(\approx 0{,}429\); б) \(\frac{1}{210} \approx 0{,}005\).
В кармане у Сергея 10 монет: 4 двухрублёвые, остальные пятирублёвые. Сергей на ощупь вынимает из кармана 6 монет. Какова вероятность того, что среди оставшихся в кармане монет: а) окажутся ровно 2 двухрублёвые; б) не окажется ни одной пятирублёвой?
Элементарное событие — набор из 6 вынутых монет (выборка). Сергей вынимает монеты на ощупь, поэтому все такие наборы равновозможны, и их число \[N = C_{10}^{6} = C_{10}^{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 210.\]
Пятирублёвых монет \(10 - 4 = 6\), а в кармане остаются \(10 - 6 = 4\) монеты.
а) Среди 4 оставшихся монет ровно 2 двухрублёвые, если среди 6 вынутых \(4 - 2 = 2\) двухрублёвые и \(6 - 2 = 4\) пятирублёвые. По правилу умножения таких наборов \(C_{4}^{2} \cdot C_{6}^{4} = 6 \cdot 15 = 90\) (индексы сходятся: \(2 + 4 = 6\), \(4 + 6 = 10\)), и вероятность этого события равна \[\frac{C_{4}^{2} \cdot C_{6}^{4}}{C_{10}^{6}} = \frac{90}{210} = \frac{3}{7} \approx 0{,}429.\]
б) Среди оставшихся монет не окажется ни одной пятирублёвой, если все 4 оставшиеся монеты двухрублёвые, то есть вынуты все 6 пятирублёвых монет. Такой набор один: \(C_{4}^{0} \cdot C_{6}^{6} = 1\), и вероятность этого события равна \[\frac{C_{4}^{0} \cdot C_{6}^{6}}{C_{10}^{6}} = \frac{1}{210} \approx 0{,}005.\]
В ответе учебника — 0: это вероятность того, что ни одной пятирублёвой монеты не окажется среди вынутых (двухрублёвых монет всего четыре, поэтому среди шести вынутых пятирублёвая есть всегда).
Ответ: а) \(\approx 0{,}429\); б) \(\frac{1}{210} \approx 0{,}005\).
