Страница 102 номер 312, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Группа туристов прилетела в Санкт-Петербург. После приземления туристы ждут 10 своих чемоданов у ленты багажного транспортёра в аэропорту. Грузчики кладут чемоданы на ленту в случайном порядке, а всего чемоданов в самолёте было 250. Найдите вероятность того, что все 10 чемоданов этой группы окажутся среди первых 100 чемоданов, появившихся на ленте. Составьте выражение для искомой вероятности. Найдите приближённое значение с помощью компьютера.
Элементарное событие — набор из 100 чемоданов, которые появятся на ленте первыми, то есть выборка 100 чемоданов из 250. Чемоданы кладут на ленту в случайном порядке, поэтому все такие наборы равновозможны, и их число \(N = C_{250}^{100}\).
Событию \(A\) «все 10 чемоданов группы окажутся среди первых 100» благоприятствуют наборы, в которых есть все 10 чемоданов группы и ещё \(100 - 10 = 90\) из остальных \(250 - 10 = 240\) чемоданов; по правилу умножения \(N(A) = C_{10}^{10} \cdot C_{240}^{90}\). Значит, \[P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{C_{10}^{10} \cdot C_{240}^{90}}{C_{250}^{100}}.\]
Так как \(C_{10}^{10} = 1\) и \(C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}\), \[\begin{aligned} &P(A) = \frac{240!}{90! \cdot 150!} \cdot \frac{100! \cdot 150!}{250!} = \frac{100! \cdot 240!}{90! \cdot 250!} = {} \\ &= \frac{100 \cdot 99 \cdot \ldots \cdot 91}{250 \cdot 249 \cdot \ldots \cdot 241}. \end{aligned}\]
С помощью компьютера находим \(P(A) \approx 0{,}000079 = 7{,}9 \cdot 10^{-5}\).
Ответ: \(\frac{C_{10}^{10} \cdot C_{240}^{90}}{C_{250}^{100}} \approx 7{,}9 \cdot 10^{-5}\).
Группа туристов прилетела в Санкт-Петербург. После приземления туристы ждут 10 своих чемоданов у ленты багажного транспортёра в аэропорту. Грузчики кладут чемоданы на ленту в случайном порядке, а всего чемоданов в самолёте было 250. Найдите вероятность того, что все 10 чемоданов этой группы окажутся среди первых 100 чемоданов, появившихся на ленте. Составьте выражение для искомой вероятности. Найдите приближённое значение с помощью компьютера.
Элементарное событие — набор из 100 чемоданов, которые появятся на ленте первыми, то есть выборка 100 чемоданов из 250. Чемоданы кладут на ленту в случайном порядке, поэтому все такие наборы равновозможны, и их число \(N = C_{250}^{100}\).
Событию \(A\) «все 10 чемоданов группы окажутся среди первых 100» благоприятствуют наборы, в которых есть все 10 чемоданов группы и ещё \(100 - 10 = 90\) из остальных \(250 - 10 = 240\) чемоданов. По правилу умножения \(N(A) = C_{10}^{10} \cdot C_{240}^{90}\) (индексы сходятся: \(10 + 90 = 100\), \(10 + 240 = 250\)). Значит, \[P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{C_{10}^{10} \cdot C_{240}^{90}}{C_{250}^{100}}.\]
Так как \(C_{10}^{10} = 1\) и \(C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}\), это выражение можно упростить: \[\begin{aligned} &P(A) = \frac{240!}{90! \cdot 150!} \cdot \frac{100! \cdot 150!}{250!} = \frac{100! \cdot 240!}{90! \cdot 250!} = {} \\ &= \frac{100 \cdot 99 \cdot \ldots \cdot 91}{250 \cdot 249 \cdot \ldots \cdot 241}. \end{aligned}\]
Такое же произведение даёт правило умножения вероятностей, если следить за чемоданами группы по одному: первый из них окажется среди первых 100 с вероятностью \(\frac{100}{250}\), второй при условии, что первый уже там, — с вероятностью \(\frac{99}{249}\) и так далее, десятый при условии, что остальные девять уже там, — с вероятностью \(\frac{91}{241}\). С помощью компьютера находим \(P(A) \approx 0{,}000079 = 7{,}9 \cdot 10^{-5}\).
Ответ: \(\frac{C_{10}^{10} \cdot C_{240}^{90}}{C_{250}^{100}} \approx 7{,}9 \cdot 10^{-5}\).
