Страница 98 номер 297, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Игральную кость бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет: а) 3 раза; б) 5 раз; в) 1 раз; г) 6 раз; д) 2 раза; е) ни разу.
Успех — шестёрка, \(p = \frac{1}{6}\), неудача — любое другое число очков, \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\). Шесть бросаний — серия из 6 испытаний Бернулли, и по формуле Бернулли вероятность того, что шестёрка выпадет ровно \(k\) раз, равна \[C_{6}^{k} p^{k} q^{6 - k} = C_{6}^{k} \cdot \frac{1}{6^{k}} \cdot \frac{5^{6 - k}}{6^{6 - k}} = \frac{C_{6}^{k} \cdot 5^{6 - k}}{6^{6}}.\]
\(6^{6} = 46\,656\).
По 6-й строке треугольника Паскаля \(C_{6}^{0} = 1\), \(C_{6}^{1} = 6\), \(C_{6}^{2} = 15\), \(C_{6}^{3} = 20\), \(C_{6}^{4} = 15\), \(C_{6}^{5} = 6\), \(C_{6}^{6} = 1\).
а) Шестёрка выпадет ровно 3 раза с вероятностью \[\frac{C_{6}^{3} \cdot 5^{3}}{6^{6}} = \frac{20 \cdot 125}{46\,656} = \frac{2500}{46\,656} = \frac{625}{11\,664} \approx 0{,}054.\]
б) Шестёрка выпадет ровно 5 раз с вероятностью \[\frac{C_{6}^{5} \cdot 5^{1}}{6^{6}} = \frac{6 \cdot 5}{46\,656} = \frac{30}{46\,656} = \frac{5}{7776} \approx 0{,}00064.\]
в) Шестёрка выпадет ровно 1 раз с вероятностью \[\frac{C_{6}^{1} \cdot 5^{5}}{6^{6}} = \frac{6 \cdot 3125}{46\,656} = \frac{18\,750}{46\,656} = \frac{3125}{7776} \approx 0{,}402.\]
г) Шестёрка выпадет все 6 раз с вероятностью \[\frac{C_{6}^{6} \cdot 5^{0}}{6^{6}} = \frac{1}{46\,656} \approx 0{,}00002.\]
д) Шестёрка выпадет ровно 2 раза с вероятностью \[\frac{C_{6}^{2} \cdot 5^{4}}{6^{6}} = \frac{15 \cdot 625}{46\,656} = \frac{9375}{46\,656} = \frac{3125}{15\,552} \approx 0{,}201.\]
е) Шестёрка не выпадет ни разу — это 0 успехов; вероятность равна \[\frac{C_{6}^{0} \cdot 5^{6}}{6^{6}} = \frac{15\,625}{46\,656} \approx 0{,}335.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}054\); б) \(\approx 0{,}00064\); в) \(\approx 0{,}402\); г) \(\approx 0{,}00002\); д) \(\approx 0{,}201\); е) \(\approx 0{,}335\).
Игральную кость бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет: а) 3 раза; б) 5 раз; в) 1 раз; г) 6 раз; д) 2 раза; е) ни разу.
Каждое бросание кости — испытание Бернулли: успех — выпадение шестёрки, \(p = \frac{1}{6}\), неудача — любое другое число очков, \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\). Шесть бросаний — серия из 6 испытаний Бернулли, и по формуле Бернулли вероятность того, что шестёрка выпадет ровно \(k\) раз, равна \[C_{6}^{k} p^{k} q^{6 - k} = C_{6}^{k} \cdot \frac{1}{6^{k}} \cdot \frac{5^{6 - k}}{6^{6 - k}} = \frac{C_{6}^{k} \cdot 5^{6 - k}}{6^{6}}.\]
Здесь \(6^{6} = 46\,656\), а по 6-й строке треугольника Паскаля \(C_{6}^{0} = 1\), \(C_{6}^{1} = 6\), \(C_{6}^{2} = 15\), \(C_{6}^{3} = 20\), \(C_{6}^{4} = 15\), \(C_{6}^{5} = 6\), \(C_{6}^{6} = 1\).
а) Шестёрка выпадет ровно 3 раза с вероятностью \[\frac{C_{6}^{3} \cdot 5^{3}}{6^{6}} = \frac{20 \cdot 125}{46\,656} = \frac{2500}{46\,656} = \frac{625}{11\,664} \approx 0{,}054.\]
б) Шестёрка выпадет ровно 5 раз с вероятностью \[\frac{C_{6}^{5} \cdot 5^{1}}{6^{6}} = \frac{6 \cdot 5}{46\,656} = \frac{30}{46\,656} = \frac{5}{7776} \approx 0{,}00064.\]
в) Шестёрка выпадет ровно 1 раз с вероятностью \[\frac{C_{6}^{1} \cdot 5^{5}}{6^{6}} = \frac{6 \cdot 3125}{46\,656} = \frac{18\,750}{46\,656} = \frac{3125}{7776} \approx 0{,}402.\]
г) Шестёрка выпадет все 6 раз с вероятностью \[\frac{C_{6}^{6} \cdot 5^{0}}{6^{6}} = \frac{1}{46\,656} \approx 0{,}00002.\]
д) Шестёрка выпадет ровно 2 раза с вероятностью \[\frac{C_{6}^{2} \cdot 5^{4}}{6^{6}} = \frac{15 \cdot 625}{46\,656} = \frac{9375}{46\,656} = \frac{3125}{15\,552} \approx 0{,}201.\]
е) Шестёрка не выпадет ни разу — это 0 успехов; вероятность этого события равна \[\frac{C_{6}^{0} \cdot 5^{6}}{6^{6}} = \frac{15\,625}{46\,656} \approx 0{,}335.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}054\); б) \(\approx 0{,}00064\); в) \(\approx 0{,}402\); г) \(\approx 0{,}00002\); д) \(\approx 0{,}201\); е) \(\approx 0{,}335\).
