Страница 101 номер 306, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В коробке 9 простых карандашей, из них 4 мягких, остальные твёрдые. Из коробки не глядя забирают 6 карандашей. Найдите вероятность того, что среди взятых карандашей окажется: а) ровно 2 мягких; б) ровно 3 мягких; в) все 4 мягких; г) более одного мягкого карандаша.
Элементарное событие — набор из 6 взятых карандашей. Карандаши берут не глядя, поэтому все такие наборы равновозможны, и их число \[N = C_{9}^{6} = C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 84.\]
\(9 - 4 = 5\) — твёрдых карандашей. Набор из \(k\) мягких и \(6 - k\) твёрдых карандашей по правилу умножения можно составить \(C_{4}^{k} \cdot C_{5}^{6 - k}\) способами.
а) 2 мягких карандаша из 4 можно выбрать \(C_{4}^{2} = 6\) способами, \(6 - 2 = 4\) твёрдых из 5 — \(C_{5}^{4} = 5\) способами; вероятность события «ровно 2 мягких» равна \[\frac{C_{4}^{2} \cdot C_{5}^{4}}{C_{9}^{6}} = \frac{6 \cdot 5}{84} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14} \approx 0{,}357.\]
б) Ровно 3 мягких — это 3 мягких из 4 и \(6 - 3 = 3\) твёрдых из 5; вероятность равна \[\frac{C_{4}^{3} \cdot C_{5}^{3}}{C_{9}^{6}} = \frac{4 \cdot 10}{84} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21} \approx 0{,}476.\]
в) Все 4 мягких — это 4 мягких из 4 и \(6 - 4 = 2\) твёрдых из 5; вероятность равна \[\frac{C_{4}^{4} \cdot C_{5}^{2}}{C_{9}^{6}} = \frac{1 \cdot 10}{84} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42} \approx 0{,}119.\]
г) Противоположное событие — «мягких не больше одного». Без мягких карандашей набор не составить: твёрдых всего 5, а взять нужно 6. Значит, противоположное событие — «ровно 1 мягкий и 5 твёрдых карандашей», и вероятность события «более одного мягкого карандаша» равна \[1 - \frac{C_{4}^{1} \cdot C_{5}^{5}}{C_{9}^{6}} = 1 - \frac{4 \cdot 1}{84} = 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21} \approx 0{,}952.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}357\); б) \(\approx 0{,}476\); в) \(\approx 0{,}119\); г) \(\approx 0{,}952\).
В коробке 9 простых карандашей, из них 4 мягких, остальные твёрдые. Из коробки не глядя забирают 6 карандашей. Найдите вероятность того, что среди взятых карандашей окажется: а) ровно 2 мягких; б) ровно 3 мягких; в) все 4 мягких; г) более одного мягкого карандаша.
Элементарное событие — набор из 6 взятых карандашей (выборка). Карандаши берут не глядя, поэтому все такие наборы равновозможны, и их число \[N = C_{9}^{6} = C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 84.\]
Твёрдых карандашей \(9 - 4 = 5\). Набор, в котором \(k\) мягких и \(6 - k\) твёрдых карандашей, по правилу умножения можно составить \(C_{4}^{k} \cdot C_{5}^{6 - k}\) способами.
а) Выбрать 2 мягких карандаша из 4 можно \(C_{4}^{2} = 6\) способами, а \(6 - 2 = 4\) твёрдых из 5 — \(C_{5}^{4} = 5\) способами (индексы сходятся: \(2 + 4 = 6\), \(4 + 5 = 9\)). Вероятность события «ровно 2 мягких» равна \[\frac{C_{4}^{2} \cdot C_{5}^{4}}{C_{9}^{6}} = \frac{6 \cdot 5}{84} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14} \approx 0{,}357.\]
б) Ровно 3 мягких — это 3 мягких из 4 и \(6 - 3 = 3\) твёрдых из 5; вероятность этого события равна \[\frac{C_{4}^{3} \cdot C_{5}^{3}}{C_{9}^{6}} = \frac{4 \cdot 10}{84} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21} \approx 0{,}476.\]
в) Все 4 мягких — это 4 мягких из 4 и \(6 - 4 = 2\) твёрдых из 5; вероятность этого события равна \[\frac{C_{4}^{4} \cdot C_{5}^{2}}{C_{9}^{6}} = \frac{1 \cdot 10}{84} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42} \approx 0{,}119.\]
г) Противоположное событие — «мягких не больше одного». Без мягких карандашей набор не составить: твёрдых всего 5, а взять нужно 6. Значит, противоположное событие — «ровно 1 мягкий и 5 твёрдых карандашей», и вероятность события «более одного мягкого карандаша» равна \[1 - \frac{C_{4}^{1} \cdot C_{5}^{5}}{C_{9}^{6}} = 1 - \frac{4 \cdot 1}{84} = 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21} \approx 0{,}952.\]
Тот же результат даёт сумма вероятностей событий «ровно 2», «ровно 3» и «ровно 4 мягких»: \(\frac{30 + 40 + 10}{84} = \frac{80}{84} = \frac{20}{21}\).
Ответ: а) \(\approx 0{,}357\); б) \(\approx 0{,}476\); в) \(\approx 0{,}119\); г) \(\approx 0{,}952\).
