Страница 96 номер 293, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Проводится серия из \(n\) испытаний Бернулли, \(n \ge 9\). Выразите формулой число элементарных событий, которые благоприятствуют появлению: а) 2 или 3 успехов; б) не более 5 успехов; в) ровно 4, 6 или 9 успехов; г) менее 4 неудач.
\(C_{n}^{0} = 1\) — одно элементарное событие из одних неудач.
\(C_{n}^{1} = n\) — единственный успех может прийтись на любое из \(n\) испытаний.
Элементарное событие не может содержать сразу, например, 2 и 3 успеха, поэтому числа элементарных событий для разных чисел успехов складываются.
а) 2 или 3 успеха: \(C_{n}^{2} + C_{n}^{3}\).
б) Не более 5 успехов — это 0, 1, 2, 3, 4 или 5 успехов:
\[\begin{aligned} &C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + C_{n}^{4} + C_{n}^{5} = {} \\ &= 1 + n + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + C_{n}^{4} + C_{n}^{5}. \end{aligned}\]
в) Ровно 4, 6 или 9 успехов: \(C_{n}^{4} + C_{n}^{6} + C_{n}^{9}\).
г) Элементарных событий с \(k\) неудачами \(C_{n}^{k}\) — столько способов расставить \(k\) букв Н на \(n\) мест. Менее 4 неудач — это 0, 1, 2 или 3 неудачи:
\[C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} = 1 + n + C_{n}^{2} + C_{n}^{3}.\]
Ответ: а) \(C_{n}^{2} + C_{n}^{3}\); б) \(1 + n + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + C_{n}^{4} + C_{n}^{5}\); в) \(C_{n}^{4} + C_{n}^{6} + C_{n}^{9}\); г) \(1 + n + C_{n}^{2} + C_{n}^{3}\).
Проводится серия из \(n\) испытаний Бернулли, \(n \ge 9\). Выразите формулой число элементарных событий, которые благоприятствуют появлению: а) 2 или 3 успехов; б) не более 5 успехов; в) ровно 4, 6 или 9 успехов; г) менее 4 неудач.
Число элементарных событий, благоприятствующих \(k\) успехам в серии из \(n\) испытаний, равно \(C_{n}^{k}\); в частности, \(C_{n}^{0} = 1\) — одно элементарное событие из одних неудач, и \(C_{n}^{1} = n\) — единственный успех может прийтись на любое из \(n\) испытаний. Элементарное событие не может содержать сразу, например, 2 и 3 успеха, поэтому числа элементарных событий для разных чисел успехов складываются. Условие \(n \geqslant 9\) нужно, чтобы в серии могло случиться 9 успехов.
а) 2 или 3 успеха: \(C_{n}^{2} + C_{n}^{3}\).
б) Не более 5 успехов — это 0, 1, 2, 3, 4 или 5 успехов:
\[\begin{aligned} &C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + C_{n}^{4} + C_{n}^{5} = {} \\ &= 1 + n + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + C_{n}^{4} + C_{n}^{5}. \end{aligned}\]
в) Ровно 4, 6 или 9 успехов: \(C_{n}^{4} + C_{n}^{6} + C_{n}^{9}\).
г) Названия «успех» и «неудача» условны, поэтому элементарных событий с \(k\) неудачами тоже \(C_{n}^{k}\) — столько способов расставить \(k\) букв Н на \(n\) мест. Менее 4 неудач — это 0, 1, 2 или 3 неудачи:
\[C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} = 1 + n + C_{n}^{2} + C_{n}^{3}.\]
Ответ: а) \(C_{n}^{2} + C_{n}^{3}\); б) \(1 + n + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + C_{n}^{4} + C_{n}^{5}\); в) \(C_{n}^{4} + C_{n}^{6} + C_{n}^{9}\); г) \(1 + n + C_{n}^{2} + C_{n}^{3}\).
