Страница 98 номер 299, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Случайный эксперимент заключается в пятикратном бросании симметричной монеты. Найдите вероятность события: а) «решка выпадет ровно 3 раза»; б) «орёл выпадет от двух до четырёх раз»; в) «решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза»; г) «орёл выпадет нечётное число раз».
Монета симметричная, поэтому какую бы сторону ни считать успехом, \(p = q = \frac{1}{2}\). Пять бросаний — серия из 5 испытаний Бернулли, и по формуле Бернулли вероятность того, что успех наступит ровно \(k\) раз, равна \[C_{5}^{k} p^{k} q^{5 - k} = C_{5}^{k} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{C_{5}^{k}}{32}.\]
По 5-й строке треугольника Паскаля \(C_{5}^{0} = 1\), \(C_{5}^{1} = 5\), \(C_{5}^{2} = 10\), \(C_{5}^{3} = 10\), \(C_{5}^{4} = 5\), \(C_{5}^{5} = 1\).
а) Успех — решка; вероятность события «решка выпадет ровно 3 раза» равна \[\frac{C_{5}^{3}}{32} = \frac{10}{32} = 0{,}3125.\]
б) Успех — орёл. Орёл выпадет от двух до четырёх раз, если он выпадет ровно 2, ровно 3 или ровно 4 раза; эти события несовместны, поэтому вероятность равна \[\frac{C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4}}{32} = \frac{10 + 10 + 5}{32} = \frac{25}{32} = 0{,}78125 \approx 0{,}781.\]
в) Успех — решка. События «ровно 1 раз» и «ровно 3 раза» несовместны, поэтому вероятность события «решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза» равна \[\frac{C_{5}^{1} + C_{5}^{3}}{32} = \frac{5 + 10}{32} = \frac{15}{32} = 0{,}46875 \approx 0{,}469.\]
г) Успех — орёл. Нечётное число орлов — это 1, 3 или 5 орлов, поэтому вероятность равна \[\frac{C_{5}^{1} + C_{5}^{3} + C_{5}^{5}}{32} = \frac{5 + 10 + 1}{32} = \frac{16}{32} = 0{,}5.\]
Ответ: а) 0,3125; б) \(\approx 0{,}781\); в) \(\approx 0{,}469\); г) 0,5.
Случайный эксперимент заключается в пятикратном бросании симметричной монеты. Найдите вероятность события: а) «решка выпадет ровно 3 раза»; б) «орёл выпадет от двух до четырёх раз»; в) «решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза»; г) «орёл выпадет нечётное число раз».
Каждое бросание монеты — испытание Бернулли. Монета симметричная, поэтому какую бы сторону ни считать успехом, \(p = q = \frac{1}{2}\). Пять бросаний — серия из 5 испытаний Бернулли, и по формуле Бернулли вероятность того, что успех наступит ровно \(k\) раз, равна \[C_{5}^{k} p^{k} q^{5 - k} = C_{5}^{k} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{C_{5}^{k}}{32}.\]
По 5-й строке треугольника Паскаля \(C_{5}^{0} = 1\), \(C_{5}^{1} = 5\), \(C_{5}^{2} = 10\), \(C_{5}^{3} = 10\), \(C_{5}^{4} = 5\), \(C_{5}^{5} = 1\).
а) Успех — выпадение решки. Вероятность события «решка выпадет ровно 3 раза» равна \[\frac{C_{5}^{3}}{32} = \frac{10}{32} = 0{,}3125.\]
б) Успех — выпадение орла. Орёл выпадет от двух до четырёх раз, если он выпадет ровно 2, ровно 3 или ровно 4 раза. Эти события несовместны, поэтому вероятность события «орёл выпадет от двух до четырёх раз» равна \[\frac{C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4}}{32} = \frac{10 + 10 + 5}{32} = \frac{25}{32} = 0{,}78125 \approx 0{,}781.\]
в) Успех — выпадение решки. События «решка выпадет ровно 1 раз» и «решка выпадет ровно 3 раза» несовместны, поэтому вероятность события «решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза» равна \[\frac{C_{5}^{1} + C_{5}^{3}}{32} = \frac{5 + 10}{32} = \frac{15}{32} = 0{,}46875 \approx 0{,}469.\]
г) Успех — выпадение орла. Нечётное число орлов — это 1, 3 или 5 орлов, поэтому вероятность события «орёл выпадет нечётное число раз» равна \[\frac{C_{5}^{1} + C_{5}^{3} + C_{5}^{5}}{32} = \frac{5 + 10 + 1}{32} = \frac{16}{32} = 0{,}5.\]
Ответ: а) 0,3125; б) \(\approx 0{,}781\); в) \(\approx 0{,}469\); г) 0,5.
