Страница 102 номер 311, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В билете лотереи «5 из 36» всего 36 номеров — от 1 до 36. Участник лотереи выбирает и зачёркивает в билете любые 5 из них — на свой вкус. Потом проводится тираж лотереи — случайным образом выпадают 5 выигрышных номеров. Если участник угадал хотя бы 3 выигрышных номера, то он получает денежный выигрыш. Чем больше номеров угадано, тем выигрыш больше. Найдите вероятность того, что: а) участник угадает все 5 номеров; б) участник угадает ровно 4 номера из 5; в) участник получит какой-нибудь выигрыш. Составьте выражение для искомой вероятности. Найдите приближённое значение с помощью компьютера.
Элементарное событие — набор из 5 выигрышных номеров, выпавших в тираже, то есть выборка 5 номеров из 36. Номера выпадают случайным образом, поэтому все такие наборы равновозможны, и их число \[N = C_{36}^{5} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 376\,992.\]
\(36 - 5 = 31\) — незачёркнутых номеров. Участник угадал ровно \(k\) номеров, если \(k\) выигрышных номеров оказались среди 5 зачёркнутых, а остальные \(5 - k\) — среди 31 незачёркнутого; по правилу умножения таких наборов \(C_{5}^{k} \cdot C_{31}^{5 - k}\).
а) Угадать все 5 номеров — значит выигрышный набор совпадает с зачёркнутым. Такой набор один: \(C_{5}^{5} \cdot C_{31}^{0} = 1\), и вероятность равна \[\frac{1}{C_{36}^{5}} = \frac{1}{376\,992} \approx 0{,}00000265.\]
б) Ровно 4 номера угаданы, если 4 выигрышных номера — среди 5 зачёркнутых, а 1 — среди 31 незачёркнутого; вероятность равна \[\frac{C_{5}^{4} \cdot C_{31}^{1}}{C_{36}^{5}} = \frac{5 \cdot 31}{376\,992} = \frac{155}{376\,992} \approx 0{,}000411.\]
в) Выигрыш получает участник, угадавший 3, 4 или 5 номеров; эти события несовместны, и их вероятности складываются.
\(C_{5}^{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 10\);
\(C_{31}^{2} = \frac{31 \cdot 30}{1 \cdot 2} = 465\).
Вероятность получить какой-нибудь выигрыш равна \[\begin{aligned} &\frac{C_{5}^{3} \cdot C_{31}^{2} + C_{5}^{4} \cdot C_{31}^{1} + C_{5}^{5} \cdot C_{31}^{0}}{C_{36}^{5}} = \frac{10 \cdot 465 + 5 \cdot 31 + 1}{376\,992} = {} \\ &= \frac{4806}{376\,992} = \frac{267}{20\,944} \approx 0{,}013. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{1}{C_{36}^{5}} \approx 0{,}00000265\); б) \(\frac{C_{5}^{4} \cdot C_{31}^{1}}{C_{36}^{5}} \approx 0{,}000411\); в) \(\frac{C_{5}^{3} \cdot C_{31}^{2} + C_{5}^{4} \cdot C_{31}^{1} + C_{5}^{5} \cdot C_{31}^{0}}{C_{36}^{5}} \approx 0{,}013\).
В билете лотереи «5 из 36» всего 36 номеров — от 1 до 36. Участник лотереи выбирает и зачёркивает в билете любые 5 из них — на свой вкус. Потом проводится тираж лотереи — случайным образом выпадают 5 выигрышных номеров. Если участник угадал хотя бы 3 выигрышных номера, то он получает денежный выигрыш. Чем больше номеров угадано, тем выигрыш больше. Найдите вероятность того, что: а) участник угадает все 5 номеров; б) участник угадает ровно 4 номера из 5; в) участник получит какой-нибудь выигрыш. Составьте выражение для искомой вероятности. Найдите приближённое значение с помощью компьютера.
Элементарное событие — набор из 5 выигрышных номеров, выпавших в тираже, то есть выборка 5 номеров из 36. Номера выпадают случайным образом, поэтому все такие наборы равновозможны, и их число \[N = C_{36}^{5} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 376\,992.\]
Участник зачеркнул 5 номеров, а незачёркнутых номеров \(36 - 5 = 31\). Он угадал ровно \(k\) номеров, если \(k\) выигрышных номеров оказались среди 5 зачёркнутых, а остальные \(5 - k\) — среди 31 незачёркнутого. По правилу умножения таких наборов \(C_{5}^{k} \cdot C_{31}^{5 - k}\). Приближённые значения вероятностей находим с помощью компьютера.
а) Угадать все 5 номеров — значит выигрышный набор совпадает с зачёркнутым. Такой набор один: \(C_{5}^{5} \cdot C_{31}^{0} = 1\), и вероятность этого события равна \[\frac{1}{C_{36}^{5}} = \frac{1}{376\,992} \approx 0{,}00000265.\]
б) Ровно 4 номера угаданы, если 4 выигрышных номера — среди 5 зачёркнутых, а 1 — среди 31 незачёркнутого. Вероятность этого события равна \[\frac{C_{5}^{4} \cdot C_{31}^{1}}{C_{36}^{5}} = \frac{5 \cdot 31}{376\,992} = \frac{155}{376\,992} \approx 0{,}000411.\]
в) Выигрыш получает участник, угадавший 3, 4 или 5 номеров. Эти события несовместны, и их вероятности складываются. Здесь \(C_{5}^{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 10\), \(C_{31}^{2} = \frac{31 \cdot 30}{1 \cdot 2} = 465\), и вероятность получить какой-нибудь выигрыш равна \[\begin{aligned} &\frac{C_{5}^{3} \cdot C_{31}^{2} + C_{5}^{4} \cdot C_{31}^{1} + C_{5}^{5} \cdot C_{31}^{0}}{C_{36}^{5}} = \frac{10 \cdot 465 + 5 \cdot 31 + 1}{376\,992} = {} \\ &= \frac{4806}{376\,992} = \frac{267}{20\,944} \approx 0{,}013. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{1}{C_{36}^{5}} \approx 0{,}00000265\); б) \(\frac{C_{5}^{4} \cdot C_{31}^{1}}{C_{36}^{5}} \approx 0{,}000411\); в) \(\frac{C_{5}^{3} \cdot C_{31}^{2} + C_{5}^{4} \cdot C_{31}^{1} + C_{5}^{5} \cdot C_{31}^{0}}{C_{36}^{5}} \approx 0{,}013\).
