Страница 98 номер 296, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Найдите вероятность появления ровно трёх орлов, если монету бросают: а) 3 раза; б) 7 раз; в) 9 раз; г) \(n\) раз.
Успех — орёл, неудача — решка, \(p = q = \frac{1}{2}\). При \(n\) бросаниях получается серия из \(n\) испытаний Бернулли, и по формуле Бернулли вероятность события «ровно 3 орла» равна \[C_{n}^{3} p^{3} q^{n - 3} = C_{n}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n - 3} = \frac{C_{n}^{3}}{2^{n}}.\]
а) При \(n = 3\) вероятность равна \[\frac{C_{3}^{3}}{2^{3}} = \frac{1}{8} = 0{,}125.\]
б) При \(n = 7\): \(C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35\), вероятность равна \[\frac{C_{7}^{3}}{2^{7}} = \frac{35}{128} \approx 0{,}273.\]
в) При \(n = 9\): \(C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 84\), вероятность равна \[\frac{C_{9}^{3}}{2^{9}} = \frac{84}{512} = \frac{21}{128} \approx 0{,}164.\]
г) При \(n \geqslant 3\) вероятность ровно трёх орлов равна \(\frac{C_{n}^{3}}{2^{n}}\); при \(n = 1\) и \(n = 2\) три орла выпасть не могут, и вероятность равна 0.
Ответ: а) 0,125; б) \(\approx 0{,}273\); в) \(\approx 0{,}164\); г) \(\frac{C_{n}^{3}}{2^{n}}\) при \(n \geqslant 3\) (при \(n < 3\) вероятность равна 0).
Найдите вероятность появления ровно трёх орлов, если монету бросают: а) 3 раза; б) 7 раз; в) 9 раз; г) \(n\) раз.
Каждое бросание монеты — испытание Бернулли: успех — выпадение орла, неудача — выпадение решки, \(p = q = \frac{1}{2}\). При \(n\) бросаниях получается серия из \(n\) испытаний Бернулли, и по формуле Бернулли вероятность события «ровно 3 орла» равна \[C_{n}^{3} p^{3} q^{n - 3} = C_{n}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n - 3} = \frac{C_{n}^{3}}{2^{n}}.\]
а) При \(n = 3\) вероятность ровно трёх орлов равна \[\frac{C_{3}^{3}}{2^{3}} = \frac{1}{8} = 0{,}125.\]
б) При \(n = 7\) имеем \(C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35\), и вероятность ровно трёх орлов равна \[\frac{C_{7}^{3}}{2^{7}} = \frac{35}{128} \approx 0{,}273.\]
в) При \(n = 9\) имеем \(C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 84\), и вероятность ровно трёх орлов равна \[\frac{C_{9}^{3}}{2^{9}} = \frac{84}{512} = \frac{21}{128} \approx 0{,}164.\]
г) При \(n \geqslant 3\) вероятность ровно трёх орлов равна \(\frac{C_{n}^{3}}{2^{n}}\). При \(n = 1\) и \(n = 2\) три орла выпасть не могут, и вероятность равна 0.
Ответ: а) 0,125; б) \(\approx 0{,}273\); в) \(\approx 0{,}164\); г) \(\frac{C_{n}^{3}}{2^{n}}\) при \(n \geqslant 3\) (при \(n < 3\) вероятность равна 0).
