Вопросы после параграфа §84 на странице 97, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2
Пусть \(p\) — вероятность успеха, \(q = 1 - p\) — вероятность неудачи; событие — ровно 3 успеха и \(8 - 3 = 5\) неудач.
\(C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56\), и по формуле Бернулли вероятность события равна \[C_{8}^{3} p^{3} q^{5} = 56p^{3}q^{5}.\]
Ответ: \(C_{8}^{3} p^{3} q^{5} = 56p^{3}q^{5}\), где \(p\) — вероятность успеха, \(q = 1 - p\).
Событие наступает, если успехов ровно 2 или ровно 3; эти события несовместны, поэтому их вероятности, найденные по формуле Бернулли, складываются.
\(C_{9}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{1 \cdot 2} = 36\);
\(C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 84\).
Вероятность события равна \[C_{9}^{2} p^{2} q^{7} + C_{9}^{3} p^{3} q^{6} = 36p^{2}q^{7} + 84p^{3}q^{6}.\]
Ответ: \(C_{9}^{2} p^{2} q^{7} + C_{9}^{3} p^{3} q^{6} = 36p^{2}q^{7} + 84p^{3}q^{6}\).
Противоположное событие — «ни одного успеха»: все \(n\) испытаний окончились неудачей. По формуле Бернулли его вероятность равна \(C_{n}^{0} p^{0} q^{n} = q^{n}\), поэтому вероятность события «хотя бы один успех» равна \(1 - q^{n}\). Например, при трёх бросаниях монеты орёл выпадет хотя бы один раз с вероятностью \(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{7}{8}\).
Ответ: вычесть из 1 вероятность противоположного события «ни одного успеха»: \(1 - q^{n}\), где \(q\) — вероятность неудачи, \(n\) — число испытаний.
Пусть \(p\) — вероятность успеха, \(q = 1 - p\) — вероятность неудачи. Три успеха в серии из 8 испытаний — это ровно 3 успеха и \(8 - 3 = 5\) неудач, а \(C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56\). По формуле Бернулли вероятность этого события равна \[C_{8}^{3} p^{3} q^{5} = 56p^{3}q^{5}.\]
Ответ: \(C_{8}^{3} p^{3} q^{5} = 56p^{3}q^{5}\), где \(p\) — вероятность успеха, \(q = 1 - p\).
Событие наступает, если успехов ровно 2 или ровно 3. Эти события несовместны, поэтому их вероятности, найденные по формуле Бернулли, складываются. Здесь \(C_{9}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{1 \cdot 2} = 36\), \(C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 84\), и вероятность события равна \[C_{9}^{2} p^{2} q^{7} + C_{9}^{3} p^{3} q^{6} = 36p^{2}q^{7} + 84p^{3}q^{6}.\]
Ответ: \(C_{9}^{2} p^{2} q^{7} + C_{9}^{3} p^{3} q^{6} = 36p^{2}q^{7} + 84p^{3}q^{6}\).
Удобнее найти вероятность противоположного события «ни одного успеха», когда все \(n\) испытаний окончились неудачей. По формуле Бернулли она равна \(C_{n}^{0} p^{0} q^{n} = q^{n}\), поэтому вероятность события «хотя бы один успех» равна \(1 - q^{n}\). Например, при трёх бросаниях монеты орёл выпадет хотя бы один раз с вероятностью \(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{7}{8}\).
Ответ: вычесть из 1 вероятность противоположного события «ни одного успеха»: \(1 - q^{n}\), где \(q\) — вероятность неудачи, \(n\) — число испытаний.
