Страница 91 номер 281, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Инженеры проектируют систему автоматической передачи информации от автомобиля в кризисный центр в случае аварии. Возможны помехи разного рода, поэтому система должна уметь делать несколько попыток, чтобы достичь успеха. Число попыток нужно ограничить, чтобы система не зависла. По техническому заданию вероятность передачи информации должна быть не ниже 0,95, если вероятность успеха в каждой отдельной попытке 0,2. Каким числом ограничить разрешённое количество попыток?
Успех — информация передана при очередной попытке, неудача — попытка сорвалась из-за помех: \(p = 0{,}2\), \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). Будем считать, что попытки не зависят друг от друга.
Пусть системе разрешено \(n\) попыток: она повторяет их до первого успеха, но не больше \(n\) раз. Информация не будет передана, только если все \(n\) попыток окажутся неудачными; вероятность этого \(q^{n} = 0{,}8^{n}\). Значит, информация будет передана с вероятностью \(1 - 0{,}8^{n}\). Чем больше \(n\), тем меньше \(0{,}8^{n}\) и тем больше эта вероятность, поэтому нужно найти наименьшее \(n\), при котором \(1 - 0{,}8^{n} \geqslant 0{,}95\), то есть \(0{,}8^{n} \leqslant 0{,}05\).
Степени числа \(0{,}8\) с округлением до десятитысячных: \[\begin{aligned} 0{,}8^{4} &= 0{,}8^{2} \cdot 0{,}8^{2} = 0{,}64 \cdot 0{,}64 = 0{,}4096; \\ 0{,}8^{8} &= 0{,}4096 \cdot 0{,}4096 \approx 0{,}1678; \\ 0{,}8^{12} &= 0{,}8^{8} \cdot 0{,}8^{4} \approx 0{,}1678 \cdot 0{,}4096 \approx 0{,}0687; \\ 0{,}8^{13} &\approx 0{,}0687 \cdot 0{,}8 \approx 0{,}0550; \\ 0{,}8^{14} &\approx 0{,}0550 \cdot 0{,}8 = 0{,}0440. \end{aligned}\]
При \(n = 13\) получаем \(0{,}8^{13} \approx 0{,}0550 > 0{,}05\): информация будет передана с вероятностью \(1 - 0{,}8^{13} \approx 0{,}9450\), это меньше \(0{,}95\), поэтому 13 попыток, а тем более меньшего их числа, недостаточно.
При \(n = 14\) получаем \(0{,}8^{14} \approx 0{,}0440 < 0{,}05\): информация будет передана с вероятностью \(1 - 0{,}8^{14} \approx 0{,}9560\), это больше \(0{,}95\).
Ответ: разрешённое количество попыток нужно ограничить числом 14.
Инженеры проектируют систему автоматической передачи информации от автомобиля в кризисный центр в случае аварии. Возможны помехи разного рода, поэтому система должна уметь делать несколько попыток, чтобы достичь успеха. Число попыток нужно ограничить, чтобы система не зависла. По техническому заданию вероятность передачи информации должна быть не ниже 0,95, если вероятность успеха в каждой отдельной попытке 0,2. Каким числом ограничить разрешённое количество попыток?
Успех — информация передана при очередной попытке, неудача — попытка сорвалась из-за помех: \(p = 0{,}2\), \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). Будем считать, что попытки не зависят друг от друга.
Пусть системе разрешено \(n\) попыток: она повторяет их до первого успеха, но не больше \(n\) раз. Информация не будет передана, только если все \(n\) попыток окажутся неудачными; вероятность этого \(q^{n} = 0{,}8^{n}\). Значит, информация будет передана с вероятностью \(1 - 0{,}8^{n}\). Чем больше \(n\), тем меньше \(0{,}8^{n}\) и тем больше эта вероятность, поэтому нужно найти наименьшее \(n\), при котором \(1 - 0{,}8^{n} \geqslant 0{,}95\), то есть \(0{,}8^{n} \leqslant 0{,}05\).
Найдём степени числа \(0{,}8\), округляя до десятитысячных: \[\begin{aligned} 0{,}8^{4} &= 0{,}8^{2} \cdot 0{,}8^{2} = 0{,}64 \cdot 0{,}64 = 0{,}4096; \\ 0{,}8^{8} &= 0{,}4096 \cdot 0{,}4096 \approx 0{,}1678; \\ 0{,}8^{12} &= 0{,}8^{8} \cdot 0{,}8^{4} \approx 0{,}1678 \cdot 0{,}4096 \approx 0{,}0687; \\ 0{,}8^{13} &\approx 0{,}0687 \cdot 0{,}8 \approx 0{,}0550; \\ 0{,}8^{14} &\approx 0{,}0550 \cdot 0{,}8 = 0{,}0440. \end{aligned}\]
При \(n = 13\) получаем \(0{,}8^{13} \approx 0{,}0550 > 0{,}05\): информация будет передана с вероятностью \(1 - 0{,}8^{13} \approx 0{,}9450\), это меньше \(0{,}95\), поэтому 13 попыток, а тем более меньшего их числа, недостаточно.
При \(n = 14\) получаем \(0{,}8^{14} \approx 0{,}0440 < 0{,}05\): информация будет передана с вероятностью \(1 - 0{,}8^{14} \approx 0{,}9560\), это больше \(0{,}95\).
Ответ: разрешённое количество попыток нужно ограничить числом 14.
