Страница 91 номер 280, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна \(p = 0{,}4\). Сколько патронов должен иметь стрелок перед началом стрельбы, чтобы поразить мишень с вероятностью не менее 0,9?
Успех — попадание в мишень, неудача — промах: \(p = 0{,}4\), \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\). Будем считать, что выстрелы не зависят друг от друга.
Пусть у стрелка \(n\) патронов: он стреляет до первого попадания, но не больше \(n\) раз. Мишень не будет поражена, только если все \(n\) выстрелов окажутся промахами; вероятность этого \(q^{n} = 0{,}6^{n}\). Значит, мишень будет поражена с вероятностью \(1 - 0{,}6^{n}\). Чем больше патронов, тем меньше \(0{,}6^{n}\) и тем больше эта вероятность, поэтому нужно найти наименьшее \(n\), при котором \(1 - 0{,}6^{n} \geqslant 0{,}9\).
При \(n = 4\) мишень будет поражена с вероятностью \(1 - 0{,}6^{4} = 1 - 0{,}1296 = 0{,}8704\), а \(0{,}8704 < 0{,}9\): четырёх патронов, а тем более меньшего их числа, недостаточно.
При \(n = 5\) мишень будет поражена с вероятностью \(1 - 0{,}6^{5} = 1 - 0{,}07776 = 0{,}92224 \approx 0{,}922\), а \(0{,}92224 > 0{,}9\): пяти патронов достаточно.
Ответ: 5 патронов (вероятность поразить мишень \(\approx 0{,}922\)).
