Страница 91 номер 276, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Производятся последовательные одинаковые и независимые испытания до тех пор, пока не наступит успех. В каждом отдельном испытании вероятность успеха равна \(p\), а вероятность неудачи равна \(q = 1 - p\). Найдите вероятность события (выразите её через \(p\) и \(q\)), заключающегося в том, что: а) «успех случится при втором испытании»; б) «успех случится позже четвёртого испытания»; в) «успех случится не позже шестого испытания»; г) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний».
Обозначим неудачу буквой Н, а успех — буквой У. Испытания независимы, поэтому вероятность элементарного события равна произведению вероятностей неудач и успеха, из которых оно состоит.
а) Успех при втором испытании — элементарное событие НУ: \(P(\text{НУ}) = qp\).
б) Успех случится позже четвёртого испытания, только если четыре первых испытания окончатся неудачей. Вероятность этого \(q \cdot q \cdot q \cdot q = q^{4}\).
в) Событие \(A\) «успех случится не позже шестого испытания» противоположно событию \(\overline{A}\) «успех случится позже шестого испытания», которое наступает, только если шесть первых испытаний окончатся неудачей: \(P(\overline{A}) = q^{6}\). Значит, \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - q^{6}\).
г) Событию \(B\) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний» благоприятствуют элементарные события ННУ, НННУ и ННННУ. Сложим их вероятности с помощью формулы суммы геометрической прогрессии со знаменателем \(q\) и учтём, что \(1 - q = p\): \[\begin{aligned} &P(B) = q^{2}p + q^{3}p + q^{4}p = q^{2}p \cdot \frac{1 - q^{3}}{1 - q} = {} \\ &= q^{2}p \cdot \frac{1 - q^{3}}{p} = q^{2}(1 - q^{3}). \end{aligned}\]
Ответ: а) \(qp\); б) \(q^{4}\); в) \(1 - q^{6}\); г) \(q^{2}(1 - q^{3})\).
Производятся последовательные одинаковые и независимые испытания до тех пор, пока не наступит успех. В каждом отдельном испытании вероятность успеха равна \(p\), а вероятность неудачи равна \(q = 1 - p\). Найдите вероятность события (выразите её через \(p\) и \(q\)), заключающегося в том, что: а) «успех случится при втором испытании»; б) «успех случится позже четвёртого испытания»; в) «успех случится не позже шестого испытания»; г) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний».
Обозначим неудачу буквой Н, а успех — буквой У. Испытания независимы, поэтому вероятность элементарного события равна произведению вероятностей неудач и успеха, из которых оно состоит: например, \(P(\text{ННУ}) = qqp = q^{2}p\).
а) Успех при втором испытании — элементарное событие НУ: \(P(\text{НУ}) = qp\).
б) Успех случится позже четвёртого испытания, только если четыре первых испытания окончатся неудачей. Вероятность этого \(q \cdot q \cdot q \cdot q = q^{4}\).
в) Событие \(A\) «успех случится не позже шестого испытания» противоположно событию \(\overline{A}\) «успех случится позже шестого испытания», которое наступает, только если шесть первых испытаний окончатся неудачей: \(P(\overline{A}) = q^{6}\). Значит, \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - q^{6}\).
г) Событию \(B\) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний» благоприятствуют элементарные события ННУ, НННУ и ННННУ. Сложим их вероятности с помощью формулы суммы геометрической прогрессии со знаменателем \(q\) и учтём, что \(1 - q = p\): \[\begin{aligned} &P(B) = q^{2}p + q^{3}p + q^{4}p = q^{2}p \cdot \frac{1 - q^{3}}{1 - q} = {} \\ &= q^{2}p \cdot \frac{1 - q^{3}}{p} = q^{2}(1 - q^{3}). \end{aligned}\]
Ответ: а) \(qp\); б) \(q^{4}\); в) \(1 - q^{6}\); г) \(q^{2}(1 - q^{3})\).
