Страница 125 номер 689, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
От значений каких переменных зависит значение данного выражения
\[(2a + b + c - 4)(2a - b) - (2a - b - c - 4)(c - 4) + b^2 + c^2?\]
\[\begin{aligned} &(2a + b + c - 4)(2a - b) = 4a^2 - 2ab + 2ab - b^2 + 2ac - bc - 8a + 4b = 4a^2 - b^2 + 2ac - bc - 8a + 4b; \\ &(2a - b - c - 4)(c - 4) = 2ac - 8a - bc + 4b - c^2 + 4c - 4c + 16 = 2ac - 8a - bc + 4b - c^2 + 16. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &4a^2 - b^2 + 2ac - bc - 8a + 4b - (2ac - 8a - bc + 4b - c^2 + 16) + b^2 + c^2 = {} \\ &= 4a^2 - b^2 + 2ac - bc - 8a + 4b - 2ac + 8a + bc - 4b + c^2 - 16 + b^2 + c^2 = 4a^2 + 2c^2 - 16. \end{aligned}\]
Все члены с \(b\) взаимно уничтожились, в результат переменная \(b\) не входит.
Ответ: значение выражения зависит от переменных \(a\) и \(c\) и не зависит от \(b\): оно равно \(4a^2 + 2c^2 - 16\).
От значений каких переменных зависит значение данного выражения
\[(2a + b + c - 4)(2a - b) - (2a - b - c - 4)(c - 4) + b^2 + c^2?\]
Раскроем первое произведение: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй.
\[\begin{aligned} &(2a + b + c - 4)(2a - b) = 4a^2 - 2ab + 2ab - b^2 + 2ac - bc - 8a + 4b = {} \\ &= 4a^2 - b^2 + 2ac - bc - 8a + 4b. \end{aligned}\]
Так же раскроем второе произведение.
\[\begin{aligned} &(2a - b - c - 4)(c - 4) = 2ac - 8a - bc + 4b - c^2 + 4c - 4c + 16 = {} \\ &= 2ac - 8a - bc + 4b - c^2 + 16. \end{aligned}\]
Подставим оба результата в данное выражение. Второе произведение вычитается, а вычесть многочлен — значит прибавить противоположный: все его знаки меняются.
\[\begin{aligned} &4a^2 - b^2 + 2ac - bc - 8a + 4b - (2ac - 8a - bc + 4b - c^2 + 16) + b^2 + c^2 = {} \\ &= 4a^2 - b^2 + 2ac - bc - 8a + 4b - 2ac + 8a + bc - 4b + c^2 - 16 + b^2 + c^2 = {} \\ &= 4a^2 + 2c^2 - 16. \end{aligned}\]
Переменная \(b\) в полученный многочлен не входит: все члены с ней взаимно уничтожились. Значит, значение выражения меняется только при изменении \(a\) и \(c\).
Ответ: значение выражения зависит от переменных \(a\) и \(c\) и не зависит от \(b\): оно равно \(4a^2 + 2c^2 - 16\).
