Страница 125 номер 684, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разделите с остатком многочлен \(x^3 - 6x^2 + 21\) на многочлен \(x - 4\).
В делимом нет члена с \(x\), поэтому запишем его с нулевым членом: \(x^3 - 6x^2 + 0x + 21\).
\[\begin{array}{rrrr|l} x^3 & -\,6x^2 & +\,0x & +\,21 & \,x - 4 \\ \underline{x^3} & \underline{-\,4x^2} & & & \overline{\,x^2 - 2x - 8} \\ & -\,2x^2 & +\,0x & +\,21 & \\ & \underline{-\,2x^2} & \underline{+\,8x} & & \\ & & -\,8x & +\,21 & \\ & & \underline{-\,8x} & \underline{+\,32} & \\ & & & -\,11 & \end{array}\]
Степень многочлена \(-11\) равна нулю, а степень делителя \(x - 4\) равна единице, поэтому деление продолжить нельзя: число \(-11\) и есть остаток.
\[x^3 - 6x^2 + 21 = (x - 4)(x^2 - 2x - 8) - 11.\]
Ответ: неполное частное \(x^2 - 2x - 8\), остаток \(-11\).
Разделите с остатком многочлен \(x^3 - 6x^2 + 21\) на многочлен \(x - 4\).
В делимом \(x^3 - 6x^2 + 21\) нет члена с \(x\), поэтому запишем его с нулевым членом: \(x^3 - 6x^2 + 0x + 21\).
Старший член делимого делим на старший член делителя: \(x^3 : x = x^2\). Дальше делитель умножается на \(-2x\) и на \(-8\).
\[\begin{array}{rrrr|l} x^3 & -\,6x^2 & +\,0x & +\,21 & \,x - 4 \\ \underline{x^3} & \underline{-\,4x^2} & & & \overline{\,x^2 - 2x - 8} \\ & -\,2x^2 & +\,0x & +\,21 & \\ & \underline{-\,2x^2} & \underline{+\,8x} & & \\ & & -\,8x & +\,21 & \\ & & \underline{-\,8x} & \underline{+\,32} & \\ & & & -\,11 & \end{array}\]
Степень многочлена \(-11\) равна нулю, а степень делителя \(x - 4\) равна единице, поэтому деление продолжить нельзя: число \(-11\) и есть остаток. Запишем результат деления с остатком:
\[x^3 - 6x^2 + 21 = (x - 4)(x^2 - 2x - 8) - 11.\]
Проверка: по теореме Безу остаток от деления многочлена \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 21\) на двучлен \(x - 4\) равен \(P(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 21 = 64 - 96 + 21 = -11\). Остаток совпал с найденным при делении уголком.
Ответ: неполное частное \(x^2 - 2x - 8\), остаток \(-11\).
