Страница 125 номер 698, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \((3x + 6)^2 + (4x - 3)^2 = (5x + 1)^2\).
\[(3x + 6)^2 = (3x + 6)(3x + 6) = 9x^2 + 18x + 18x + 36 = 9x^2 + 36x + 36;\]
\[(4x - 3)^2 = (4x - 3)(4x - 3) = 16x^2 - 12x - 12x + 9 = 16x^2 - 24x + 9;\]
\[(5x + 1)^2 = (5x + 1)(5x + 1) = 25x^2 + 5x + 5x + 1 = 25x^2 + 10x + 1.\]
\(9x^2 + 36x + 36 + 16x^2 - 24x + 9 = 25x^2 + 12x + 45\) — левая часть уравнения.
\[\begin{aligned} 25x^2 + 12x + 45 &= 25x^2 + 10x + 1; \\ 12x - 10x &= 1 - 45; \\ 2x &= -44; \\ x &= -22. \end{aligned}\]
Проверка: при \(x = -22\) получаем \(3x + 6 = -60\), \(4x - 3 = -91\), \(5x + 1 = -109\) и \((-60)^2 + (-91)^2 = 3600 + 8281 = 11\,881 = (-109)^2\).
Ответ: \(x = -22\).
Решите уравнение \((3x + 6)^2 + (4x - 3)^2 = (5x + 1)^2\).
Раскроем квадраты умножением: квадрат двучлена — это его произведение на самого себя.
\[(3x + 6)^2 = (3x + 6)(3x + 6) = 9x^2 + 18x + 18x + 36 = 9x^2 + 36x + 36;\]
\[(4x - 3)^2 = (4x - 3)(4x - 3) = 16x^2 - 12x - 12x + 9 = 16x^2 - 24x + 9;\]
\[(5x + 1)^2 = (5x + 1)(5x + 1) = 25x^2 + 5x + 5x + 1 = 25x^2 + 10x + 1.\]
Левая часть уравнения равна \(9x^2 + 36x + 36 + 16x^2 - 24x + 9 = 25x^2 + 12x + 45\).
Члены \(25x^2\) в обеих частях одинаковы, поэтому после переноса неизвестных влево, а чисел вправо остаётся линейное уравнение.
\[\begin{aligned} 25x^2 + 12x + 45 &= 25x^2 + 10x + 1; \\ 12x - 10x &= 1 - 45; \\ 2x &= -44; \\ x &= -22. \end{aligned}\]
Проверка: при \(x = -22\) получаем \(3x + 6 = -60\), \(4x - 3 = -91\) и \(5x + 1 = -109\), а равенство \((-60)^2 + (-91)^2 = (-109)^2\) верно, так как \(3600 + 8281 = 11\,881\).
Ответ: \(x = -22\).
