Страница 126 номер 713, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(2x^3 - 8x^2 - 14x + 20 = 0\).
\(2x^3 - 8x^2 - 14x + 20 = 2(x^3 - 4x^2 - 7x + 10)\) — вынесли общий множитель 2.
Разделим обе части уравнения на 2: \(x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = 0\).
Разобьём члены \(-4x^2 = -x^2 - 3x^2\) и \(-7x = 3x - 10x\):
\[\begin{aligned} &x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = x^3 - x^2 - 3x^2 + 3x - 10x + 10 = {} \\ &= x^2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = (x - 1)(x^2 - 3x - 10). \end{aligned}\]
Разобьём член \(-3x = -5x + 2x\):
\[x^2 - 3x - 10 = x^2 - 5x + 2x - 10 = x(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(x + 2).\]
\[(x - 1)(x - 5)(x + 2) = 0.\]
\(x - 1 = 0\), или \(x - 5 = 0\), или \(x + 2 = 0\), откуда \(x = 1\), \(x = 5\), \(x = -2\).
Ответ: \(-2\); 1; 5.
Решите уравнение \(2x^3 - 8x^2 - 14x + 20 = 0\).
У всех членов левой части есть общий множитель 2: \(2x^3 - 8x^2 - 14x + 20 = 2(x^3 - 4x^2 - 7x + 10)\). Разделим обе части уравнения на 2 и получим уравнение \(x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = 0\).
Разложим его левую часть на множители. Разобьём член \(-4x^2\) на два слагаемых: \(-4x^2 = -x^2 - 3x^2\), а член \(-7x\) — на два слагаемых: \(-7x = 3x - 10x\).
\[\begin{aligned} &x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = x^3 - x^2 - 3x^2 + 3x - 10x + 10 = {} \\ &= x^2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = (x - 1)(x^2 - 3x - 10). \end{aligned}\]
Разложим на множители трёхчлен \(x^2 - 3x - 10\), разбив член \(-3x\) на два слагаемых: \(-3x = -5x + 2x\).
\[x^2 - 3x - 10 = x^2 - 5x + 2x - 10 = x(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(x + 2).\]
Уравнение принимает вид
\[(x - 1)(x - 5)(x + 2) = 0.\]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен один из множителей: \(x - 1 = 0\), или \(x - 5 = 0\), или \(x + 2 = 0\), откуда \(x = 1\), \(x = 5\), \(x = -2\).
Ответ: \(-2\); 1; 5.
