Страница 126 номер 714, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(\dfrac{x^5 - 3x^4 - x^3 + 9x^2 - 24x + 18}{x^3 + x^2 + 6} = 0\).
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен.
Разделим числитель на знаменатель уголком (все степени в делимом есть).
\[\begin{array}{rrrrrr|l} x^5 & -\,3x^4 & -\,x^3 & +\,9x^2 & -\,24x & +\,18 & \,x^3 + x^2 + 6 \\ \underline{x^5} & \underline{+\,x^4} & & \underline{+\,6x^2} & & & \overline{\,x^2 - 4x + 3} \\ & -\,4x^4 & -\,x^3 & +\,3x^2 & -\,24x & +\,18 & \\ & \underline{-\,4x^4} & \underline{-\,4x^3} & & \underline{-\,24x} & & \\ & & 3x^3 & +\,3x^2 & & +\,18 & \\ & & \underline{3x^3} & \underline{+\,3x^2} & & \underline{+\,18} & \\ & & & & & 0 & \end{array}\]
Деление без остатка:
\[x^5 - 3x^4 - x^3 + 9x^2 - 24x + 18 = (x^3 + x^2 + 6)(x^2 - 4x + 3).\]
Первый множитель — знаменатель, у корня он нулю не равен, поэтому \(x^2 - 4x + 3 = 0\).
Разобьём член \(-4x = -x - 3x\):
\[x^2 - 4x + 3 = x^2 - x - 3x + 3 = x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x - 3).\]
\((x - 1)(x - 3) = 0\) при \(x = 1\) и при \(x = 3\).
Знаменатель при \(x = 1\) равен \(1 + 1 + 6 = 8\), при \(x = 3\) — \(27 + 9 + 6 = 42\); оба отличны от нуля, значит, оба числа — корни.
Ответ: 1; 3.
Решите уравнение \(\dfrac{x^5 - 3x^4 - x^3 + 9x^2 - 24x + 18}{x^3 + x^2 + 6} = 0\).
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен.
Разделим многочлен из числителя на многочлен из знаменателя уголком, записывая члены одинаковой степени друг под другом. Все степени в делимом присутствуют, поэтому нулевые члены дописывать не нужно.
\[\begin{array}{rrrrrr|l} x^5 & -\,3x^4 & -\,x^3 & +\,9x^2 & -\,24x & +\,18 & \,x^3 + x^2 + 6 \\ \underline{x^5} & \underline{+\,x^4} & & \underline{+\,6x^2} & & & \overline{\,x^2 - 4x + 3} \\ & -\,4x^4 & -\,x^3 & +\,3x^2 & -\,24x & +\,18 & \\ & \underline{-\,4x^4} & \underline{-\,4x^3} & & \underline{-\,24x} & & \\ & & 3x^3 & +\,3x^2 & & +\,18 & \\ & & \underline{3x^3} & \underline{+\,3x^2} & & \underline{+\,18} & \\ & & & & & 0 & \end{array}\]
Деление выполнилось без остатка, поэтому числитель раскладывается на множители.
\[x^5 - 3x^4 - x^3 + 9x^2 - 24x + 18 = (x^3 + x^2 + 6)(x^2 - 4x + 3).\]
Числитель равен нулю, когда нулю равен один из этих множителей. Первый множитель — это знаменатель дроби, а он у корня уравнения нулю не равен, поэтому нулю должен равняться второй множитель: \(x^2 - 4x + 3 = 0\).
Разложим трёхчлен на множители, разбив член \(-4x\) на два слагаемых: \(-4x = -x - 3x\).
\[x^2 - 4x + 3 = x^2 - x - 3x + 3 = x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x - 3).\]
Произведение \((x - 1)(x - 3)\) равно нулю при \(x = 1\) и при \(x = 3\).
Проверим знаменатель: при \(x = 1\) он равен \(1 + 1 + 6 = 8\), при \(x = 3\) он равен \(27 + 9 + 6 = 42\). Оба значения отличны от нуля, поэтому оба числа являются корнями уравнения.
Ответ: 1; 3.
