Контрольные вопросы и задания на странице 124, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
1. Дайте определение многочлена. Приведите пример.
2. Приведите примеры тождественно равных многочленов.
3. Что называется степенью многочлена? Приведите пример трёхчлена пятой степени.
4. Приведите примеры суммы и разности многочленов и их преобразование в многочлен стандартного вида.
5. Приведите примеры умножения одночлена на многочлен.
6. Приведите примеры умножения многочлена на многочлен.
7. Какое преобразование называют разложением многочлена на множители?
8. Приведите примеры деления многочлена на двучлен с остатком.
Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов, а сами эти одночлены — его члены.
Например, \(2a^2b + 2ab^2\) — многочлен (двучлен) с членами \(2a^2b\) и \(2ab^2\), а \(6xy + x - 9\) — трёхчлен. Отдельный одночлен тоже многочлен, а число 0 — нулевой многочлен.
Ответ: многочлен — это алгебраическая сумма одночленов; например, \(2a^2b + 2ab^2\).
Тождественно равны многочлены, принимающие одинаковые значения при всех значениях переменных, — например, полученные один из другого так:
Перестановка членов: \(x^2y + 3yz = 3yz + x^2y\).
Добавление нулевого одночлена: \(x^2y + 3yz = x^2y + 3yz + 0\).
Приведение подобных слагаемых: \(2xy^2 - 4xyz + xy^2 = 3xy^2 - 4xyz\).
Раскрытие скобок: \(y(x^2 + 3z) = x^2y + 3yz\).
При \(x = 2\), \(y = 1\), \(z = 3\) последняя пара даёт \(1 \cdot (4 + 9) = 13\) и \(4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 3 = 13\) — значения совпадают.
Ответ: например, многочлены \(2xy^2 - 4xyz + xy^2\) и \(3xy^2 - 4xyz\) тождественно равны, а также \(y(x^2 + 3z)\) и \(x^2y + 3yz\).
Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из степеней его членов, а степень одночлена равна сумме показателей его переменных.
У многочлена \(x^2y + 3yz\) степени членов равны \(2 + 1 = 3\) и \(1 + 1 = 2\), поэтому степень многочлена равна 3.
Трёхчлен пятой степени — например, \(4x^3y^2 - 7xy + 2\): степени его членов равны 5, 2 и 0.
Ответ: степень многочлена — это наибольшая из степеней его членов; трёхчлен пятой степени — например, \(4x^3y^2 - 7xy + 2\).
Сумма многочленов:
\[(3x^2 - 5x + 4) + (x^2 + 5x - 9) = 3x^2 - 5x + 4 + x^2 + 5x - 9 = 4x^2 - 5.\]
Разность тех же многочленов — перед скобкой со знаком «минус» все знаки меняются на противоположные:
\[(3x^2 - 5x + 4) - (x^2 + 5x - 9) = 3x^2 - 5x + 4 - x^2 - 5x + 9 = 2x^2 - 10x + 13.\]
Ответ: например, \((3x^2 - 5x + 4) + (x^2 + 5x - 9) = 4x^2 - 5\), а \((3x^2 - 5x + 4) - (x^2 + 5x - 9) = 2x^2 - 10x + 13\).
\[3ab \cdot (6 + 4ab - 5b + a) = 3ab \cdot 6 + 3ab \cdot 4ab - 3ab \cdot 5b + 3ab \cdot a = 12a^2b^2 - 15ab^2 + 3a^2b + 18ab.\]
При отрицательном коэффициенте одночлена у каждого произведения меняется знак:
\[-2x^2 \cdot (x^3 - 4x + 5) = -2x^2 \cdot x^3 + (-2x^2) \cdot (-4x) + (-2x^2) \cdot 5 = -2x^5 + 8x^3 - 10x^2.\]
Степень второго произведения равна \(2 + 3 = 5\) — сумме степеней множителей.
Ответ: например, \(3ab(6 + 4ab - 5b + a) = 12a^2b^2 - 15ab^2 + 3a^2b + 18ab\) и \(-2x^2(x^3 - 4x + 5) = -2x^5 + 8x^3 - 10x^2\).
\[(x + 2)(x - 3) = x(x - 3) + 2(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6.\]
\[\begin{aligned} &(x^2 - 5x - 2)(2x^2 - x + 3) = x^2(2x^2 - x + 3) - 5x(2x^2 - x + 3) - 2(2x^2 - x + 3) = {} \\ &= 2x^4 - x^3 + 3x^2 - 10x^3 + 5x^2 - 15x - 4x^2 + 2x - 6 = 2x^4 - 11x^3 + 4x^2 - 13x - 6. \end{aligned}\]
Степень произведения равна \(2 + 2 = 4\) — сумме степеней множителей.
Ответ: например, \((x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6\) и \((x^2 - 5x - 2)(2x^2 - x + 3) = 2x^4 - 11x^3 + 4x^2 - 13x - 6\).
Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения многочленов; для этого выносят общий множитель, группируют слагаемые, разбивают слагаемое на два или добавляют пару противоположных.
Вынесение общего множителя за скобки: \(7xy^3 - 5x^2y = xy(7y^2 - 5x)\).
Группировка слагаемых:
\[ax + by + ay + bx = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).\]
Разбиение слагаемого на два:
\[x^2 + 3x + 2 = x^2 + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x + 2).\]
Ответ: разложением на множители называют представление многочлена в виде произведения многочленов; например, \(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\).
Разделить \(P\) на \(Q\) с остатком — значит найти такие \(T\) (неполное частное) и \(S\) (остаток), что \(P = Q \cdot T + S\), где степень \(S\) меньше степени делителя \(Q\).
Разделим уголком \(x^4 - 5x^3 - 2x + 7\) на \(x - 3\); пропущенную степень запишем нулевым членом \(0x^2\).
\[\begin{array}{rrrrr|l} x^4 & -\,5x^3 & +\,0x^2 & -\,2x & +\,7 & \,x - 3 \\ \underline{x^4} & \underline{-\,3x^3} & & & & \overline{\,x^3 - 2x^2 - 6x - 20} \\ & -\,2x^3 & +\,0x^2 & -\,2x & +\,7 & \\ & \underline{-\,2x^3} & \underline{+\,6x^2} & & & \\ & & -\,6x^2 & -\,2x & +\,7 & \\ & & \underline{-\,6x^2} & \underline{+\,18x} & & \\ & & & -\,20x & +\,7 & \\ & & & \underline{-\,20x} & \underline{+\,60} & \\ & & & & -\,53 & \end{array}\]
Степень числа \(-53\) равна 0 и меньше степени делителя, равной 1, поэтому деление закончено.
\[x^4 - 5x^3 - 2x + 7 = (x - 3)(x^3 - 2x^2 - 6x - 20) - 53.\]
Разделим уголком \(2x^2 + 5x - 1\) на \(x + 3\).
\[\begin{array}{rrr|l} 2x^2 & +\,5x & -\,1 & \,x + 3 \\ \underline{2x^2} & \underline{+\,6x} & & \overline{\,2x - 1} \\ & -\,x & -\,1 & \\ & \underline{-\,x} & \underline{-\,3} & \\ & & 2 & \end{array}\]
Значит, \(2x^2 + 5x - 1 = (x + 3)(2x - 1) + 2\).
Ответ: например, \(x^4 - 5x^3 - 2x + 7 = (x - 3)(x^3 - 2x^2 - 6x - 20) - 53\): неполное частное \(x^3 - 2x^2 - 6x - 20\), остаток \(-53\); и \(2x^2 + 5x - 1 = (x + 3)(2x - 1) + 2\): неполное частное \(2x - 1\), остаток 2.
1. Дайте определение многочлена. Приведите пример.
2. Приведите примеры тождественно равных многочленов.
3. Что называется степенью многочлена? Приведите пример трёхчлена пятой степени.
4. Приведите примеры суммы и разности многочленов и их преобразование в многочлен стандартного вида.
5. Приведите примеры умножения одночлена на многочлен.
6. Приведите примеры умножения многочлена на многочлен.
7. Какое преобразование называют разложением многочлена на множители?
8. Приведите примеры деления многочлена на двучлен с остатком.
Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов; входящие в эту сумму одночлены называются членами (слагаемыми) многочлена. Многочленом называется и любое выражение, которое раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых можно преобразовать в многочлен стандартного вида.
Например, \(2a^2b + 2ab^2\) — многочлен, его членами являются одночлены \(2a^2b\) и \(2ab^2\).
Многочлен из двух членов называется двучленом, из трёх — трёхчленом: \(6xy + x - 9\) — трёхчлен с членами \(6xy\), \(x\) и \(-9\). Отдельный одночлен тоже считается многочленом, а число 0 называется нулевым многочленом.
Ответ: многочлен — это алгебраическая сумма одночленов; например, \(2a^2b + 2ab^2\).
Два многочлена называются тождественно равными, если они принимают одинаковые значения при всех значениях переменных или если один из них получен из другого перестановкой членов, добавлением нулевого одночлена, приведением подобных слагаемых или раскрытием скобок.
Перестановка членов: \(x^2y + 3yz = 3yz + x^2y\).
Добавление нулевого одночлена: \(x^2y + 3yz = x^2y + 3yz + 0\).
Приведение подобных слагаемых: \(2xy^2 - 4xyz + xy^2 = 3xy^2 - 4xyz\).
Раскрытие скобок: \(y(x^2 + 3z) = x^2y + 3yz\).
Тождественное равенство означает совпадение значений: при \(x = 2\), \(y = 1\), \(z = 3\) первый многочлен последней пары равен \(1 \cdot (4 + 9) = 13\), а второй равен \(4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 3 = 13\).
Ответ: например, многочлены \(2xy^2 - 4xyz + xy^2\) и \(3xy^2 - 4xyz\) тождественно равны, а также \(y(x^2 + 3z)\) и \(x^2y + 3yz\).
Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов, а степенью произвольного многочлена — степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида. Степень одночлена равна сумме показателей степеней его переменных.
Например, у многочлена \(x^2y + 3yz\) степень первого члена равна \(2 + 1 = 3\), степень второго члена равна \(1 + 1 = 2\), поэтому степень многочлена равна 3.
Трёхчлен пятой степени — например, \(4x^3y^2 - 7xy + 2\): степени его членов равны 5, 2 и 0, а наибольшая из них равна 5.
Ответ: степень многочлена — это наибольшая из степеней его членов; трёхчлен пятой степени — например, \(4x^3y^2 - 7xy + 2\).
Чтобы записать сумму или разность многочленов, каждый из них берут в скобки и ставят между ними знак «плюс» или «минус», а затем раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые. Вычесть многочлен — значит прибавить противоположный ему многочлен, поэтому перед скобкой со знаком «минус» все знаки в скобках меняются на противоположные.
Сумма многочленов:
\[(3x^2 - 5x + 4) + (x^2 + 5x - 9) = 3x^2 - 5x + 4 + x^2 + 5x - 9 = 4x^2 - 5.\]
Разность тех же многочленов:
\[(3x^2 - 5x + 4) - (x^2 + 5x - 9) = 3x^2 - 5x + 4 - x^2 - 5x + 9 = 2x^2 - 10x + 13.\]
Ответ: например, \((3x^2 - 5x + 4) + (x^2 + 5x - 9) = 4x^2 - 5\), а \((3x^2 - 5x + 4) - (x^2 + 5x - 9) = 2x^2 - 10x + 13\).
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные произведения. Степень произведения ненулевого одночлена и ненулевого многочлена равна сумме степеней множителей.
\[3ab \cdot (6 + 4ab - 5b + a) = 3ab \cdot 6 + 3ab \cdot 4ab - 3ab \cdot 5b + 3ab \cdot a = 12a^2b^2 - 15ab^2 + 3a^2b + 18ab.\]
Если коэффициент одночлена отрицательный, у каждого произведения меняется знак.
\[-2x^2 \cdot (x^3 - 4x + 5) = -2x^2 \cdot x^3 + (-2x^2) \cdot (-4x) + (-2x^2) \cdot 5 = -2x^5 + 8x^3 - 10x^2.\]
Степень второго произведения равна \(2 + 3 = 5\) — сумме степеней множителей.
Ответ: например, \(3ab(6 + 4ab - 5b + a) = 12a^2b^2 - 15ab^2 + 3a^2b + 18ab\) и \(-2x^2(x^3 - 4x + 5) = -2x^5 + 8x^3 - 10x^2\).
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго и сложить полученные произведения. Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней множителей.
\[(x + 2)(x - 3) = x(x - 3) + 2(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6.\]
Так же перемножаются два трёхчлена.
\[\begin{aligned} &(x^2 - 5x - 2)(2x^2 - x + 3) = x^2(2x^2 - x + 3) - 5x(2x^2 - x + 3) - 2(2x^2 - x + 3) = {} \\ &= 2x^4 - x^3 + 3x^2 - 10x^3 + 5x^2 - 15x - 4x^2 + 2x - 6 = 2x^4 - 11x^3 + 4x^2 - 13x - 6. \end{aligned}\]
Степень произведения равна \(2 + 2 = 4\) — сумме степеней множителей.
Ответ: например, \((x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6\) и \((x^2 - 5x - 2)(2x^2 - x + 3) = 2x^4 - 11x^3 + 4x^2 - 13x - 6\).
Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения других многочленов. Для этого выносят общий множитель за скобки, группируют слагаемые, разбивают одно слагаемое на два или добавляют пару противоположных слагаемых.
Вынесение общего множителя за скобки: \(7xy^3 - 5x^2y = xy(7y^2 - 5x)\).
Группировка слагаемых:
\[ax + by + ay + bx = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).\]
Разбиение слагаемого на два:
\[x^2 + 3x + 2 = x^2 + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x + 2).\]
Ответ: разложением на множители называют представление многочлена в виде произведения многочленов; например, \(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\).
Разделить многочлен \(P\) на многочлен \(Q\) с остатком — значит найти такие многочлены \(T\) и \(S\), что \(P = Q \cdot T + S\), причём многочлен \(S\) отличен от нулевого и его степень меньше степени делителя \(Q\). Многочлен \(T\) называется неполным частным многочленов \(P\) и \(Q\), а многочлен \(S\) — остатком.
Разделим уголком многочлен \(x^4 - 5x^3 - 2x + 7\) на двучлен \(x - 3\). Пропущенную степень запишем нулевым членом \(0x^2\).
\[\begin{array}{rrrrr|l} x^4 & -\,5x^3 & +\,0x^2 & -\,2x & +\,7 & \,x - 3 \\ \underline{x^4} & \underline{-\,3x^3} & & & & \overline{\,x^3 - 2x^2 - 6x - 20} \\ & -\,2x^3 & +\,0x^2 & -\,2x & +\,7 & \\ & \underline{-\,2x^3} & \underline{+\,6x^2} & & & \\ & & -\,6x^2 & -\,2x & +\,7 & \\ & & \underline{-\,6x^2} & \underline{+\,18x} & & \\ & & & -\,20x & +\,7 & \\ & & & \underline{-\,20x} & \underline{+\,60} & \\ & & & & -\,53 & \end{array}\]
Степень числа \(-53\) равна 0 и меньше степени делителя, равной 1, поэтому деление закончено.
\[x^4 - 5x^3 - 2x + 7 = (x - 3)(x^3 - 2x^2 - 6x - 20) - 53.\]
Разделим уголком многочлен \(2x^2 + 5x - 1\) на двучлен \(x + 3\).
\[\begin{array}{rrr|l} 2x^2 & +\,5x & -\,1 & \,x + 3 \\ \underline{2x^2} & \underline{+\,6x} & & \overline{\,2x - 1} \\ & -\,x & -\,1 & \\ & \underline{-\,x} & \underline{-\,3} & \\ & & 2 & \end{array}\]
Значит, \(2x^2 + 5x - 1 = (x + 3)(2x - 1) + 2\). Тот же остаток даёт теорема Безу: \(x + 3 = x - (-3)\), и значение многочлена при \(x = -3\) равно \(2 \cdot (-3)^2 + 5 \cdot (-3) - 1 = 18 - 15 - 1 = 2\).
Ответ: например, \(x^4 - 5x^3 - 2x + 7 = (x - 3)(x^3 - 2x^2 - 6x - 20) - 53\): неполное частное \(x^3 - 2x^2 - 6x - 20\), остаток \(-53\); и \(2x^2 + 5x - 1 = (x + 3)(2x - 1) + 2\): неполное частное \(2x - 1\), остаток 2.
