Страница 126 номер 708, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите наибольшее натуральное число, на которое делится сумма четырёх любых степеней тройки с последовательными натуральными показателями.
Пусть наименьший из четырёх последовательных показателей равен \(n\), это натуральное число.
\[3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2} + 3^{n+3} = 3^n(1 + 3 + 9 + 27) = 40 \cdot 3^n.\]
\(n \geqslant 1\), поэтому \(40 \cdot 3^n = 120 \cdot 3^{n-1}\), где \(3^{n-1}\) целое, — сумма делится на 120.
Большего числа взять нельзя: при \(n = 1\) сумма равна \(3 + 9 + 27 + 81 = 120\), а на число, большее 120, само 120 не делится.
Ответ: 120.
Найдите наибольшее натуральное число, на которое делится сумма четырёх любых степеней тройки с последовательными натуральными показателями.
Пусть наименьший из четырёх последовательных показателей равен \(n\) — это натуральное число. Сумма таких степеней тройки равна \(3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2} + 3^{n+3}\).
Вынесем за скобки общий множитель \(3^n\).
\[3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2} + 3^{n+3} = 3^n(1 + 3 + 9 + 27) = 40 \cdot 3^n.\]
Показатель \(n\) натуральный, поэтому \(n \geqslant 1\), и один множитель 3 из степени \(3^n\) можно присоединить к числу 40: \(40 \cdot 3^n = 120 \cdot 3^{n-1}\). Число \(3^{n-1}\) целое, значит, при любом натуральном \(n\) такая сумма делится на 120.
Большего числа взять нельзя: при \(n = 1\) сумма равна \(3 + 9 + 27 + 81 = 120\), а на число, большее 120, само число 120 не делится.
Ответ: 120.
