Страница 126 номер 706, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Даны двучлен и четырёхчлен от одной переменной, записанные в стандартном виде. Их перемножили и результат записали в стандартном виде. Сколько членов может быть в получившемся многочлене?
Каждый член двучлена умножается на каждый член четырёхчлена — \(2 \cdot 4 = 8\) произведений, приведение подобных их число не увеличивает: членов не больше восьми.
Старший член произведения даёт только произведение старших членов множителей, младший — только младших: они ни с чем не складываются, а степени у них разные, поэтому членов не меньше двух.
Каждое количество от 2 до 8 встречается:
\((x^5 + 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^3 + x^2 + x + 1\) — восемь членов.
\((x^3 + 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^6 + x^5 + x^4 + 2x^3 + x^2 + x + 1\) — семь членов.
\((x^3 - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^6 + x^5 + x^4 - x^2 - x - 1\) — шесть членов.
\((x + 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1\) — пять членов.
\((x^2 - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 + x^4 - x - 1\) — четыре члена.
\((x - 1)(x^3 + x^2 + x + 2) = x^4 + x - 2\) — три члена.
\((x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 - 1\) — два члена.
Ответ: в произведении может быть от 2 до 8 членов.
Даны двучлен и четырёхчлен от одной переменной, записанные в стандартном виде. Их перемножили и результат записали в стандартном виде. Сколько членов может быть в получившемся многочлене?
При умножении двучлена на четырёхчлен каждый член двучлена умножается на каждый член четырёхчлена, поэтому получается \(2 \cdot 4 = 8\) произведений. После приведения подобных слагаемых членов не станет больше, значит, их не больше восьми.
Меньше двух членов быть не может. Запишем оба множителя по убыванию степеней. Старший член произведения получается единственным способом — умножением старших членов множителей, у всех остальных произведений степень меньше, поэтому этот член ни с чем не складывается и уничтожиться не может. Точно так же единственным способом получается младший член произведения — умножением младших членов множителей. Степени этих двух членов разные, значит, в произведении не меньше двух членов.
Каждое количество членов от 2 до 8 действительно встречается.
\((x^5 + 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^3 + x^2 + x + 1\) — восемь членов.
\((x^3 + 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^6 + x^5 + x^4 + 2x^3 + x^2 + x + 1\) — семь членов.
\((x^3 - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^6 + x^5 + x^4 - x^2 - x - 1\) — шесть членов.
\((x + 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1\) — пять членов.
\((x^2 - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 + x^4 - x - 1\) — четыре члена.
\((x - 1)(x^3 + x^2 + x + 2) = x^4 + x - 2\) — три члена.
\((x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 - 1\) — два члена.
Ответ: в произведении может быть от 2 до 8 членов.
