Страница 125 номер 683, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите многочлен \(M\), для которого равенство является тождеством:
\[-4a^3 + 8 - 5a + (2a^2 - M) \cdot 2a = 2(4 - 3a^2).\]
\((2a^2 - M) \cdot 2a = 4a^3 - 2a \cdot M\) — левая часть.
\(2(4 - 3a^2) = 8 - 6a^2\) — правая часть.
Выразим \(M\) так же, как неизвестное в уравнении:
\[\begin{aligned} -4a^3 + 8 - 5a + 4a^3 - 2a \cdot M &= 8 - 6a^2; \\ 8 - 5a - 2a \cdot M &= 8 - 6a^2; \\ -5a - 2a \cdot M &= -6a^2; \\ -2a \cdot M &= -6a^2 + 5a; \\ 2a \cdot M &= 6a^2 - 5a. \end{aligned}\]
Разделим почленно: \(6a^2 : 2a = 3a\) и \(-5a : 2a = -2{,}5\).
\[M = (6a^2 - 5a) : 2a = 3a - 2{,}5.\]
Ответ: \(M = 3a - 2{,}5\).
Найдите многочлен \(M\), для которого равенство является тождеством:
\[-4a^3 + 8 - 5a + (2a^2 - M) \cdot 2a = 2(4 - 3a^2).\]
Раскроем скобки в обеих частях равенства, считая \(M\) неизвестным многочленом.
В левой части умножим каждый член двучлена \(2a^2 - M\) на одночлен \(2a\): \((2a^2 - M) \cdot 2a = 4a^3 - 2a \cdot M\). Правая часть равна \(2(4 - 3a^2) = 8 - 6a^2\).
Равенство принимает вид, из которого многочлен \(M\) выражается так же, как неизвестное в уравнении:
\[\begin{aligned} -4a^3 + 8 - 5a + 4a^3 - 2a \cdot M &= 8 - 6a^2; \\ 8 - 5a - 2a \cdot M &= 8 - 6a^2; \\ -5a - 2a \cdot M &= -6a^2; \\ -2a \cdot M &= -6a^2 + 5a; \\ 2a \cdot M &= 6a^2 - 5a. \end{aligned}\]
Разделим многочлен \(6a^2 - 5a\) на одночлен \(2a\) почленно: \(6a^2 : 2a = 3a\) и \(-5a : 2a = -2{,}5\).
\[M = (6a^2 - 5a) : 2a = 3a - 2{,}5.\]
Проверка: подставим найденный многочлен в левую часть исходного равенства.
\[\begin{aligned} &-4a^3 + 8 - 5a + (2a^2 - (3a - 2{,}5)) \cdot 2a = -4a^3 + 8 - 5a + (2a^2 - 3a + 2{,}5) \cdot 2a = {} \\ &= -4a^3 + 8 - 5a + 4a^3 - 6a^2 + 5a = 8 - 6a^2. \end{aligned}\]
Правая часть равна \(2(4 - 3a^2) = 8 - 6a^2\), то есть обе части равны при любом значении \(a\).
Ответ: \(M = 3a - 2{,}5\).
