Страница 126 номер 701, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Многочлен стандартного вида от двух переменных имеет степень 5. Какое наибольшее количество членов может содержать этот многочлен?
Подобных членов в многочлене стандартного вида нет, поэтому у всех членов разные буквенные части, а степень каждого члена не больше 5.
Одночленов степени \(k\) от двух переменных ровно \(k + 1\): показатель у \(x\) пробегает значения от \(k\) до 0, а показатель у \(y\) дополняет его до \(k\).
\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\) — столько различных буквенных частей у одночленов степеней от 0 до 5, значит, и членов не больше 21.
Ровно 21 член даёт сумма всех этих одночленов, её степень равна 5:
\[\begin{aligned} &x^5 + x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^4 + y^5 + {} \\ &+ x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4 + x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 + {} \\ &+ x^2 + xy + y^2 + x + y + 1. \end{aligned}\]
Ответ: 21.
Многочлен стандартного вида от двух переменных имеет степень 5. Какое наибольшее количество членов может содержать этот многочлен?
Обозначим переменные многочлена через \(x\) и \(y\).
В многочлене стандартного вида подобных членов нет, поэтому у всех его членов разные буквенные части. Степень многочлена равна 5, значит, степень каждого его члена не больше 5.
Одночленов степени \(k\) от двух переменных ровно \(k + 1\): показатель у \(x\) пробегает значения от \(k\) до 0, а показатель у \(y\) дополняет его до \(k\). Например, одночленов третьей степени четыре: \(x^3\), \(x^2y\), \(xy^2\), \(y^3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Степень одночлена} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Сколько одночленов} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array}\]
Различных буквенных частей всего \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\), поэтому и членов в таком многочлене не больше 21.
Ровно 21 член получается, если взять сумму всех этих одночленов: наибольшая степень её слагаемых равна 5, значит, степень такого многочлена равна 5.
\[\begin{aligned} &x^5 + x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^4 + y^5 + {} \\ &+ x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4 + x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 + {} \\ &+ x^2 + xy + y^2 + x + y + 1. \end{aligned}\]
Ответ: 21.
