Страница 126 номер 707, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Таня записала многочлен четвёртой степени от двух переменных в стандартном виде, включающий в себя 7 слагаемых, и вынесла за скобки некоторый одночлен. Какие значения может принимать степень этого одночлена?
Пусть степень вынесенного одночлена равна \(d\). Количество слагаемых при вынесении не меняется, поэтому в скобках остались семь членов с разными буквенными частями, многочлен в скобках имеет степень \(4 - d\), и степень каждого его члена не больше \(4 - d\).
Одночленов степени \(k\) от двух переменных ровно \(k + 1\): одночленов степени не выше 2 — \(1 + 2 + 3 = 6\), одночленов степени не выше 1 — три, одночлен степени 0 — один.
При \(d = 2\) нужны семь разных одночленов степени не выше 2, а их только шесть; при \(d = 3\) подходящих три, при \(d = 4\) — один, а больше 4 значение \(d\) быть не может: степень \(4 - d\) отрицательной не бывает. Значит, \(d\) не больше 1.
Обе оставшиеся возможности встречаются. Вынесено число — одночлен степени 0:
\[2x^4 + 2x^3y + 2x^2 + 2xy + 2y^2 + 2x + 2y = 2(x^4 + x^3y + x^2 + xy + y^2 + x + y).\]
Вынесен одночлен \(x\), его степень равна 1:
\[x^4 + x^3 + x^2y + xy^2 + x^2 + xy + x = x(x^3 + x^2 + xy + y^2 + x + y + 1).\]
Ответ: 0 или 1.
Таня записала многочлен четвёртой степени от двух переменных в стандартном виде, включающий в себя 7 слагаемых, и вынесла за скобки некоторый одночлен. Какие значения может принимать степень этого одночлена?
Обозначим переменные через \(x\) и \(y\), а степень вынесенного за скобки одночлена — через \(d\).
При вынесении общего множителя за скобки количество слагаемых не меняется, поэтому в скобках остался многочлен из семи членов с разными буквенными частями. Степень произведения одночлена и многочлена равна сумме степеней множителей, а степень исходного многочлена равна 4, поэтому многочлен в скобках имеет степень \(4 - d\) и степень каждого его члена не больше \(4 - d\).
Одночленов степени \(k\) от двух переменных ровно \(k + 1\), поэтому одночленов степени не выше 2 всего \(1 + 2 + 3 = 6\), одночленов степени не выше 1 — три, а одночлен степени 0 всего один.
При \(d = 2\) в скобках должны стоять семь одночленов с разными буквенными частями и степенью не выше 2, а таких одночленов только шесть. При \(d = 3\) подходящих одночленов три, при \(d = 4\) — один, а больше 4 степень вынесенного одночлена быть не может: степень \(4 - d\) многочлена в скобках отрицательной не бывает. Значит, степень вынесенного одночлена не больше 1.
Обе оставшиеся возможности встречаются. За скобки вынесено число, то есть одночлен нулевой степени:
\[2x^4 + 2x^3y + 2x^2 + 2xy + 2y^2 + 2x + 2y = 2(x^4 + x^3y + x^2 + xy + y^2 + x + y).\]
За скобки вынесен одночлен \(x\), его степень равна 1:
\[x^4 + x^3 + x^2y + xy^2 + x^2 + xy + x = x(x^3 + x^2 + xy + y^2 + x + y + 1).\]
В обоих случаях многочлен слева записан в стандартном виде, состоит из семи членов и имеет степень 4.
Ответ: 0 или 1.
