Страница 125 номер 699, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дан многочлен \(P(x, y) = -y + x^2 + 3xy\). Представьте выражение \(P(a + b, -3b^2)\) в виде многочлена стандартного вида от переменных \(a\) и \(b\).
\[P(a + b, -3b^2) = -(-3b^2) + (a + b)^2 + 3(a + b) \cdot (-3b^2).\]
\(-(-3b^2) = 3b^2\).
\[(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]
\[3(a + b) \cdot (-3b^2) = -9b^2(a + b) = -9ab^2 - 9b^3.\]
\[3b^2 + a^2 + 2ab + b^2 - 9ab^2 - 9b^3 = -9ab^2 - 9b^3 + a^2 + 2ab + 4b^2.\]
Члены записаны по убыванию степеней: у \(-9ab^2\) и \(-9b^3\) степень равна 3, у остальных — 2.
Ответ: \(-9ab^2 - 9b^3 + a^2 + 2ab + 4b^2\).
Дан многочлен \(P(x, y) = -y + x^2 + 3xy\). Представьте выражение \(P(a + b, -3b^2)\) в виде многочлена стандартного вида от переменных \(a\) и \(b\).
Подставим в многочлен вместо переменной \(x\) двучлен \(a + b\), а вместо переменной \(y\) — одночлен \(-3b^2\).
\[P(a + b, -3b^2) = -(-3b^2) + (a + b)^2 + 3(a + b) \cdot (-3b^2).\]
Первое слагаемое равно \(3b^2\), так как число, противоположное числу \(-3b^2\), есть \(3b^2\).
Квадрат двучлена раскроем умножением.
\[(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]
В последнем слагаемом перемножим одночлены и умножим полученный одночлен на двучлен.
\[3(a + b) \cdot (-3b^2) = -9b^2(a + b) = -9ab^2 - 9b^3.\]
Сложим полученные многочлены и приведём подобные члены.
\[3b^2 + a^2 + 2ab + b^2 - 9ab^2 - 9b^3 = -9ab^2 - 9b^3 + a^2 + 2ab + 4b^2.\]
Члены записаны по убыванию степеней: у одночленов \(-9ab^2\) и \(-9b^3\) степень равна 3, у остальных — 2.
Ответ: \(-9ab^2 - 9b^3 + a^2 + 2ab + 4b^2\).
