Страница 124 номер 672, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Делимое \(x^4 + 3x^3 - 9x^2 - 9x - 2\) записано по убыванию степеней, и в нём есть члены всех степеней от четвёртой до нулевой, поэтому делить уголком можно сразу.

Старший член делимого делим на старший член делителя: \(x^4 : x^2 = x^2\). Дальше делитель умножается на \(x^2\), на \(5x\) и на 2 — эти одночлены и составляют частное.

\[\begin{array}{rrrrr|l} x^4 & +\,3x^3 & -\,9x^2 & -\,9x & -\,2 & \,x^2 - 2x - 1 \\ \underline{x^4} & \underline{-\,2x^3} & \underline{-\,x^2} & & & \overline{\,x^2 + 5x + 2} \\ & 5x^3 & -\,8x^2 & -\,9x & -\,2 & \\ & \underline{5x^3} & \underline{-\,10x^2} & \underline{-\,5x} & & \\ & & 2x^2 & -\,4x & -\,2 & \\ & & \underline{2x^2} & \underline{-\,4x} & \underline{-\,2} & \\ & & & & 0 & \end{array}\]

После последнего вычитания получился ноль, значит, многочлен \(x^4 + 3x^3 - 9x^2 - 9x - 2\) делится на многочлен \(x^2 - 2x - 1\) нацело:

\[(x^4 + 3x^3 - 9x^2 - 9x - 2) : (x^2 - 2x - 1) = x^2 + 5x + 2.\]

Проверка: умножим делитель на найденное частное.

\[\begin{aligned} &(x^2 - 2x - 1)(x^2 + 5x + 2) = x^4 + 5x^3 + 2x^2 - 2x^3 - 10x^2 - 4x - x^2 - 5x - 2 = {} \\ &= x^4 + 3x^3 - 9x^2 - 9x - 2. \end{aligned}\]

Получилось делимое, значит, деление выполнено верно.

Ответ: \(x^2 + 5x + 2\).