Страница 125 номер 693, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите многочлен \(A\), для которого верно равенство:
\[x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 5x - 4 = (x - 2) \cdot A + 6.\]
\[(x - 2) \cdot A = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 5x - 4 - 6 = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 5x - 10.\]
Значит, \(A\) — частное от деления многочлена \(x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 5x - 10\) на двучлен \(x - 2\).
\[\begin{array}{rrrrr|l} x^4 & -\,5x^3 & +\,6x^2 & +\,5x & -\,10 & \,x - 2 \\ \underline{x^4} & \underline{-\,2x^3} & & & & \overline{\,x^3 - 3x^2 + 5} \\ & -\,3x^3 & +\,6x^2 & +\,5x & -\,10 & \\ & \underline{-\,3x^3} & \underline{+\,6x^2} & & & \\ & & & 5x & -\,10 & \\ & & & \underline{5x} & \underline{-\,10} & \\ & & & & 0 & \end{array}\]
После последнего вычитания получился ноль, значит, деление выполнено нацело:
\[(x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 5x - 10) : (x - 2) = x^3 - 3x^2 + 5.\]
Ответ: \(A = x^3 - 3x^2 + 5\).
Найдите многочлен \(A\), для которого верно равенство:
\[x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 5x - 4 = (x - 2) \cdot A + 6.\]
Из данного равенства видно, чему равно произведение \((x - 2) \cdot A\): это левая часть, уменьшенная на 6.
\[(x - 2) \cdot A = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 5x - 4 - 6 = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 5x - 10.\]
Значит, многочлен \(A\) — частное от деления многочлена \(x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 5x - 10\) на двучлен \(x - 2\). Разделим уголком, умножая делитель последовательно на \(x^3\), на \(-3x^2\) и на 5.
\[\begin{array}{rrrrr|l} x^4 & -\,5x^3 & +\,6x^2 & +\,5x & -\,10 & \,x - 2 \\ \underline{x^4} & \underline{-\,2x^3} & & & & \overline{\,x^3 - 3x^2 + 5} \\ & -\,3x^3 & +\,6x^2 & +\,5x & -\,10 & \\ & \underline{-\,3x^3} & \underline{+\,6x^2} & & & \\ & & & 5x & -\,10 & \\ & & & \underline{5x} & \underline{-\,10} & \\ & & & & 0 & \end{array}\]
После последнего вычитания получился ноль, значит, деление выполнено нацело:
\[(x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 5x - 10) : (x - 2) = x^3 - 3x^2 + 5.\]
Проверка: \((x - 2)(x^3 - 3x^2 + 5) + 6 = x^4 - 3x^3 + 5x - 2x^3 + 6x^2 - 10 + 6 = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 5x - 4\).
Ответ: \(A = x^3 - 3x^2 + 5\).
