Страница 125 номер 690, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каком значении параметра \(a\) равенство \(x^2 + 25 = 10x + (a + x)^2\) является тождеством?
\[(a + x)^2 = (a + x)(a + x) = a^2 + ax + ax + x^2 = a^2 + 2ax + x^2.\]
Правая часть: \(10x + a^2 + 2ax + x^2 = x^2 + (2a + 10)x + a^2\), левая: \(x^2 + 25\).
Тождество верно при любом \(x\), в том числе при \(x = 0\): слева 25, справа \(a^2\), откуда \(a^2 = 25\) и \(a = 5\) или \(a = -5\).
При \(a = 5\) правая часть \(x^2 + (2 \cdot 5 + 10)x + 25 = x^2 + 20x + 25\); при \(x = 1\) она равна \(1 + 20 + 25 = 46\), а левая — \(1 + 25 = 26\), поэтому \(a = 5\) не подходит.
При \(a = -5\) правая часть \(x^2 + (2 \cdot (-5) + 10)x + 25 = x^2 + 25\) — совпадает с левой при любом \(x\).
Ответ: \(a = -5\).
При каком значении параметра \(a\) равенство \(x^2 + 25 = 10x + (a + x)^2\) является тождеством?
Раскроем квадрат в правой части умножением: квадрат двучлена — это его произведение на самого себя.
\[(a + x)^2 = (a + x)(a + x) = a^2 + ax + ax + x^2 = a^2 + 2ax + x^2.\]
Тогда правая часть равна \(10x + a^2 + 2ax + x^2 = x^2 + (2a + 10)x + a^2\), а левая часть равна \(x^2 + 25\).
Тождество верно при любом значении \(x\), в том числе при \(x = 0\). Подставим \(x = 0\): слева получается 25, справа — \(a^2\), поэтому \(a^2 = 25\), то есть \(a = 5\) или \(a = -5\). Проверим оба числа.
При \(a = 5\) правая часть равна \(x^2 + (2 \cdot 5 + 10)x + 25 = x^2 + 20x + 25\). При \(x = 1\) её значение равно \(1 + 20 + 25 = 46\), а значение левой части равно \(1 + 25 = 26\). Значения разные, поэтому \(a = 5\) не подходит.
При \(a = -5\) правая часть равна \(x^2 + (2 \cdot (-5) + 10)x + 25 = x^2 + 25\), то есть совпадает с левой частью при любом значении \(x\).
Ответ: \(a = -5\).
