Страница 39 номер 4.41, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

В каждом пункте сначала находим область определения, потом упрощаем формулу на этой области и только после этого строим линию, выкалывая точки, которых в области определения нет.

1) Функция определена там, где определены оба логарифма, то есть при \(\operatorname{tg} x > 0\) и \(\operatorname{ctg} x > 0\). Тангенс и котангенс положительны одновременно на промежутках \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\), где \(n\) — целое число.

На этих промежутках \(\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1\), поэтому \(\lg\operatorname{tg} x + \lg\operatorname{ctg} x = \lg\left(\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x\right) = \lg 1 = 0\). Графиком служит лежащий на оси \(Ox\) набор интервалов — по одному на каждом промежутке области определения.

2) Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы, поэтому функция определена при \(x > 0\), \(x \ne 1\). На этом множестве \(\log_{x} 1 = 0\). Графиком служит часть оси \(Ox\) при \(x > 0\) с выколотым началом \((0;\ 0)\) и выколотой точкой \((1;\ 0)\).

3) Функция определена при \(x + 3 > 0\), то есть при \(x > -3\). По основному логарифмическому тождеству \(3^{\log_{3}(x + 3)} = x + 3\) для всех таких значений. Графиком служит часть прямой \(y = x + 3\) при \(x > -3\) — луч с выколотым началом \((-3;\ 0)\).

4) Функция определена при \(x > 0\). Вынесем показатель степени: \(5^{-\log_{5} x} = \left(5^{\log_{5} x}\right)^{-1} = x^{-1} = \frac{1}{x}\). Графиком служит правая ветвь гиперболы \(y = \frac{1}{x}\), расположенная в первой координатной четверти.

5) Основание логарифма \(\log_{x} 10\) должно быть положительным и отличным от единицы, поэтому функция определена при \(x > 0\), \(x \ne 1\). Дробь \(\frac{1}{\log_{x} 10}\) — это логарифм с переставленными основанием и числом: \(\frac{1}{\log_{x} 10} = \log_{10} x = \lg x\). Значит, \(y = 10^{\lg x} = x\). Графиком служит часть прямой \(y = x\) при \(x > 0\) с выколотым началом \((0;\ 0)\) и выколотой точкой \((1;\ 1)\).

6) Функция определена при \(x^{2} > 0\), то есть при \(x \ne 0\). По основному логарифмическому тождеству \(2^{\log_{2} x^{2}} = x^{2}\). Графиком служит парабола \(y = x^{2}\) с выколотой вершиной \((0;\ 0)\).

7) Числитель и знаменатель дроби одинаковы, поэтому вся работа — в области определения. Логарифм \(\log_{\frac{1}{2}} x\) определён при \(x > 0\), а знаменатель обращается в нуль при \(\log_{\frac{1}{2}} x = 0\), то есть при \(x = 1\). Значит, функция определена при \(x > 0\), \(x \ne 1\), и на этом множестве \(y = 1\). Графиком служит часть прямой \(y = 1\) при \(x > 0\) с выколотыми точками \((0;\ 1)\) и \((1;\ 1)\).

8) Основание внутреннего логарифма должно быть положительным и отличным от единицы: \(3 - x > 0\) и \(3 - x \ne 1\), то есть \(x < 3\) и \(x \ne 2\). При этих значениях \(\log_{3 - x}(3 - x)^{4} = 4\log_{3 - x}(3 - x) = 4\) — число положительное, поэтому внешний логарифм определён.

Значит, \(y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2\), так как \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4\). Графиком служит часть прямой \(y = -2\) при \(x < 3\) с выколотыми точками \((2;\ -2)\) и \((3;\ -2)\).

9) Функция определена при \(x^{2} > 0\), то есть при \(x \ne 0\). Приведём основание степени к основанию логарифма: \(2 = 4^{\frac{1}{2}}\), поэтому \(2^{\log_{4} x^{2}} = \left(4^{\frac{1}{2}}\right)^{\log_{4} x^{2}} = \left(4^{\log_{4} x^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x^{2}} = |x|\). Графиком служит «уголок» \(y = |x|\) с выколотой вершиной \((0;\ 0)\).