Страница 37 номер 4.25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Левая часть каждого равенства определена при \(x > 0\).
1) \(2\log_{7} 8 - 4\log_{7} 2 = \log_{7} 8^{2} - \log_{7} 2^{4} = \log_{7}\frac{64}{16} = \log_{7} 4\), значит, \(\log_{7} x = \log_{7} 4\) и \(x = 4\).
2) Здесь \(2 = 2\lg 10 = \lg 100\), поэтому \(2 + \lg 3 - \lg 5 = \lg 100 + \lg 3 - \lg 5 = \lg\frac{100 \cdot 3}{5} = \lg 60\), значит, \(\lg x = \lg 60\) и \(x = 60\).
3) Здесь \(216 = 6^{3}\) и \(25 = 5^{2}\), поэтому \(\frac{2}{3}\log_{3} 216 + \frac{1}{2}\log_{3} 25 = \frac{2}{3}\log_{3} 6^{3} + \frac{1}{2}\log_{3} 5^{2} = 2\log_{3} 6 + \log_{3} 5 = \log_{3}(36 \cdot 5) = \log_{3} 180\), значит, \(\log_{3} x = \log_{3} 180\) и \(x = 180\).
4) Здесь \(32 = 2^{5}\), \(128 = 2^{7}\), а единица равна \(\lg 10\), поэтому \(\frac{2}{3}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 128 + 1 = \frac{10}{3}\lg 2 - \frac{7}{3}\lg 2 + \lg 10 = \lg 2 + \lg 10 = \lg 20\), значит, \(\lg x = \lg 20\) и \(x = 20\).
5) Здесь \(\lg 10 = 1 = \log_{2} 2\), поэтому \(3\log_{2} 5 - 2\log_{2} 25 - \lg 10 = \log_{2} 125 - \log_{2} 625 - \log_{2} 2 = \log_{2}\frac{125}{625 \cdot 2} = \log_{2}\frac{1}{10}\), значит, \(\log_{2} x = \log_{2} 0{,}1\) и \(x = 0{,}1\).
Ответ: 1) 4; 2) 60; 3) 180; 4) 20; 5) \(0{,}1\).
В каждом пункте левая часть определена при \(x > 0\). Правую часть свернём в один логарифм с тем же основанием. Если равенство приняло вид \(\log_{a} x = \log_{a} b\), то по определению логарифма \(x = a^{\log_{a} b}\), а по основному логарифмическому тождеству \(a^{\log_{a} b} = b\), значит, \(x = b\).
1) Преобразуем правую часть: \(2\log_{7} 8 - 4\log_{7} 2 = \log_{7} 8^{2} - \log_{7} 2^{4} = \log_{7}\frac{64}{16} = \log_{7} 4\). Значит, \(\log_{7} x = \log_{7} 4\) и \(x = 4\).
2) Число 2 запишем десятичным логарифмом: \(2 = 2\lg 10 = \lg 100\). Тогда \(2 + \lg 3 - \lg 5 = \lg 100 + \lg 3 - \lg 5 = \lg\frac{100 \cdot 3}{5} = \lg 60\). Значит, \(\lg x = \lg 60\) и \(x = 60\).
3) Представим числа под знаками логарифмов степенями: \(216 = 6^{3}\), \(25 = 5^{2}\). Тогда \(\frac{2}{3}\log_{3} 216 + \frac{1}{2}\log_{3} 25 = \frac{2}{3}\log_{3} 6^{3} + \frac{1}{2}\log_{3} 5^{2} = 2\log_{3} 6 + \log_{3} 5 = \log_{3}(36 \cdot 5) = \log_{3} 180\). Значит, \(\log_{3} x = \log_{3} 180\) и \(x = 180\).
4) Здесь \(32 = 2^{5}\), \(128 = 2^{7}\), а единицу запишем как \(\lg 10\). Тогда \(\frac{2}{3}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 128 + 1 = \frac{10}{3}\lg 2 - \frac{7}{3}\lg 2 + \lg 10 = \lg 2 + \lg 10 = \lg 20\). Значит, \(\lg x = \lg 20\) и \(x = 20\).
5) Слагаемое \(\lg 10\) равно 1, а единицу запишем логарифмом по основанию 2: \(1 = \log_{2} 2\). Тогда \(3\log_{2} 5 - 2\log_{2} 25 - \lg 10 = \log_{2} 125 - \log_{2} 625 - \log_{2} 2 = \log_{2}\frac{125}{625 \cdot 2} = \log_{2}\frac{1}{10}\). Значит, \(\log_{2} x = \log_{2} 0{,}1\) и \(x = 0{,}1\).
Ответ: 1) 4; 2) 60; 3) 180; 4) 20; 5) \(0{,}1\).
