Страница 39 номер 4.42, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Функция определена при \(x + 2 > 0\), то есть при \(x > -2\), и \(7^{\log_{7}(x + 2)} = x + 2\). График — часть прямой \(y = x + 2\) при \(x > -2\), луч с выколотым началом \((-2;\ 0)\).
2) Здесь и основание степени, и основание логарифма равны \(\frac{1}{3}\), то есть речь о выражении \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}(x - 1)}\). Оно определено при \(x - 1 > 0\), то есть при \(x > 1\), и равно \(x - 1\). График — часть прямой \(y = x - 1\) при \(x > 1\), луч с выколотым началом \((1;\ 0)\).
3) Функция определена при \(x^{2} > 0\), то есть при \(x \ne 0\). Приведём основание степени к основанию логарифма: \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\), поэтому \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{2} x^{2}} = \left(2^{\log_{2} x^{2}}\right)^{-1} = \frac{1}{x^{2}}\). График — кривая \(y = \frac{1}{x^{2}}\): две ветви выше оси \(Ox\), симметричные относительно оси \(Oy\), с вертикальной асимптотой \(x = 0\).
4) Основание логарифма положительно и отлично от единицы, поэтому функция определена при \(x > 0\), \(x \ne 1\), и на этом множестве \(\log_{x} x = 1\). График — часть прямой \(y = 1\) при \(x > 0\) с выколотыми точками \((0;\ 1)\) и \((1;\ 1)\).
5) Числитель и знаменатель дроби одинаковы. Выражение \(x^{2} + 1\) положительно при любом \(x\), а знаменатель обращается в нуль, когда \(x^{2} + 1 = 1\), откуда \(x = 0\). Значит, функция определена при всех \(x \ne 0\) и на этом множестве \(y = 1\). График — прямая \(y = 1\) с выколотой точкой \((0;\ 1)\).
6) Число \(x\) служит и основанием степени, и основанием логарифма, а под знаком логарифма должно быть \(2x > 0\); все три условия дают \(x > 0\), \(x \ne 1\). При этих значениях \(x^{\log_{x} 2x} = 2x\). График — часть прямой \(y = 2x\) при \(x > 0\) с выколотым началом \((0;\ 0)\) и выколотой точкой \((1;\ 2)\).
7) Основание внутреннего логарифма положительно и отлично от единицы: \(x + 1 > 0\) и \(x + 1 \ne 1\), то есть \(x > -1\) и \(x \ne 0\). При этих значениях \(\log_{x + 1}(x + 1)^{27} = 27\log_{x + 1}(x + 1) = 27\), поэтому \(y = \log_{3} 27 = 3\). График — часть прямой \(y = 3\) при \(x > -1\) с выколотыми точками \((-1;\ 3)\) и \((0;\ 3)\).
8) Число \(x - 2\) служит основанием логарифма во втором множителе и стоит под знаком логарифма в первом, поэтому \(x - 2 > 0\) и \(x - 2 \ne 1\), то есть \(x > 2\) и \(x \ne 3\). При этих значениях множители взаимно обратны: \(\log_{x - 2}\frac{1}{3} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}(x - 2)}\), причём \(\log_{\frac{1}{3}}(x - 2) \ne 0\), поэтому произведение равно 1. График — часть прямой \(y = 1\) при \(x > 2\) с выколотыми точками \((2;\ 1)\) и \((3;\ 1)\).
В каждом пункте сначала находим область определения, потом упрощаем формулу на этой области и только после этого строим линию, выкалывая точки, которых в области определения нет.
1) Функция определена при \(x + 2 > 0\), то есть при \(x > -2\). По основному логарифмическому тождеству \(7^{\log_{7}(x + 2)} = x + 2\). Графиком служит часть прямой \(y = x + 2\) при \(x > -2\) — луч с выколотым началом \((-2;\ 0)\).
2) Здесь показатель степени — логарифм по основанию \(\frac{1}{3}\), а само основание степени тоже равно \(\frac{1}{3}\), то есть речь о выражении \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}(x - 1)}\). Оно определено при \(x - 1 > 0\), то есть при \(x > 1\), и по основному логарифмическому тождеству равно \(x - 1\). Графиком служит часть прямой \(y = x - 1\) при \(x > 1\) — луч с выколотым началом \((1;\ 0)\).
3) Функция определена при \(x^{2} > 0\), то есть при \(x \ne 0\). Приведём основание степени к основанию логарифма: \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\), поэтому \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{2} x^{2}} = \left(2^{\log_{2} x^{2}}\right)^{-1} = \frac{1}{x^{2}}\). Графиком служит кривая \(y = \frac{1}{x^{2}}\) — две ветви, лежащие выше оси \(Ox\) и симметричные относительно оси \(Oy\); при \(x = 0\) функция не определена, и прямая \(x = 0\) служит вертикальной асимптотой.
4) Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы, поэтому функция определена при \(x > 0\), \(x \ne 1\). На этом множестве \(\log_{x} x = 1\). Графиком служит часть прямой \(y = 1\) при \(x > 0\) с выколотыми точками \((0;\ 1)\) и \((1;\ 1)\).
5) Числитель и знаменатель дроби одинаковы, поэтому вся работа — в области определения. Выражение \(x^{2} + 1\) положительно при любом \(x\), так что логарифм определён всюду; знаменатель обращается в нуль, когда \(\lg\left(x^{2} + 1\right) = 0\), то есть когда \(x^{2} + 1 = 1\), откуда \(x = 0\). Значит, функция определена при всех \(x \ne 0\) и на этом множестве \(y = 1\). Графиком служит прямая \(y = 1\) с выколотой точкой \((0;\ 1)\).
6) Число \(x\) служит и основанием степени, и основанием логарифма, поэтому оно должно быть положительным и отличным от единицы; кроме того, под знаком логарифма должно быть \(2x > 0\). Все три условия дают \(x > 0\), \(x \ne 1\). По основному логарифмическому тождеству \(x^{\log_{x} 2x} = 2x\). Графиком служит часть прямой \(y = 2x\) при \(x > 0\) с выколотым началом \((0;\ 0)\) и выколотой точкой \((1;\ 2)\).
7) Основание внутреннего логарифма должно быть положительным и отличным от единицы: \(x + 1 > 0\) и \(x + 1 \ne 1\), то есть \(x > -1\) и \(x \ne 0\). При этих значениях \(\log_{x + 1}(x + 1)^{27} = 27\log_{x + 1}(x + 1) = 27\), и внешний логарифм определён. Значит, \(y = \log_{3} 27 = 3\). Графиком служит часть прямой \(y = 3\) при \(x > -1\) с выколотыми точками \((-1;\ 3)\) и \((0;\ 3)\).
8) Число \(x - 2\) служит основанием логарифма во втором множителе и стоит под знаком логарифма в первом, поэтому \(x - 2 > 0\) и \(x - 2 \ne 1\), то есть \(x > 2\) и \(x \ne 3\). При этих значениях множители взаимно обратны: \(\log_{x - 2}\frac{1}{3} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}(x - 2)}\), причём \(\log_{\frac{1}{3}}(x - 2) \ne 0\). Значит, произведение равно 1. Графиком служит часть прямой \(y = 1\) при \(x > 2\) с выколотыми точками \((2;\ 1)\) и \((3;\ 1)\).
