Страница 36 номер 4.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите значение выражения: 1) \(\lg 8 + \lg 12{,}5\); 2) \(\log_{3}162 - \log_{3}2\); 3) \(\frac{\log_{7}125}{\log_{7}5}\); 4) \(3\log_{6}2 + \frac{3}{4}\log_{6}81\).
1) \(\lg 8 + \lg 12{,}5 = \lg(8 \cdot 12{,}5) = \lg 100 = 2\), так как \(10^{2} = 100\).
2) \(\log_{3} 162 - \log_{3} 2 = \log_{3}\frac{162}{2} = \log_{3} 81 = 4\), так как \(3^{4} = 81\).
3) \(\frac{\log_{7} 125}{\log_{7} 5} = \log_{5} 125 = 3\), так как \(5^{3} = 125\).
4) Здесь \(81^{\frac{3}{4}} = \left(3^{4}\right)^{\frac{3}{4}} = 3^{3} = 27\), а \(6^{3} = 216\), поэтому \[\begin{aligned} &3\log_{6} 2 + \frac{3}{4}\log_{6} 81 = \log_{6} 2^{3} + \log_{6} 81^{\frac{3}{4}} = {} \\ &= \log_{6} 8 + \log_{6} 27 = \log_{6} 216 = 3. \end{aligned}\]
Ответ: 1) 2; 2) 4; 3) 3; 4) 3.
Вычислите значение выражения: 1) \(\lg 8 + \lg 12{,}5\); 2) \(\log_{3}162 - \log_{3}2\); 3) \(\frac{\log_{7}125}{\log_{7}5}\); 4) \(3\log_{6}2 + \frac{3}{4}\log_{6}81\).
Каждое выражение сворачиваем в один логарифм — по теоремам о логарифме произведения, частного и степени либо по формуле перехода к другому основанию, — а затем берём этот логарифм по определению.
1) \(\lg 8 + \lg 12{,}5 = \lg(8 \cdot 12{,}5) = \lg 100 = 2\), так как \(10^{2} = 100\).
2) \(\log_{3} 162 - \log_{3} 2 = \log_{3}\frac{162}{2} = \log_{3} 81 = 4\), так как \(3^{4} = 81\).
3) Формула перехода к другому основанию \(\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\), прочитанная справа налево, даёт \(\frac{\log_{7} 125}{\log_{7} 5} = \log_{5} 125 = 3\), так как \(5^{3} = 125\).
4) Здесь \(81^{\frac{3}{4}} = \left(3^{4}\right)^{\frac{3}{4}} = 3^{3} = 27\), а \(6^{3} = 216\), поэтому \[\begin{aligned} &3\log_{6} 2 + \frac{3}{4}\log_{6} 81 = \log_{6} 2^{3} + \log_{6} 81^{\frac{3}{4}} = {} \\ &= \log_{6} 8 + \log_{6} 27 = \log_{6} 216 = 3. \end{aligned}\]
Ответ: 1) 2; 2) 4; 3) 3; 4) 3.
