Страница 38 номер 4.37, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Правая часть определена при \(1 - x > 0\) и \(1 + x > 0\), то есть при \(-1 < x < 1\); левая — при \(1 - x^{2} > 0\), то есть на том же промежутке \((-1;\ 1)\).
При \(-1 < x < 1\) оба числа \(1 - x\) и \(1 + x\) положительны, поэтому \(\log_{2}(1 - x) + \log_{2}(1 + x) = \log_{2}(1 - x)(1 + x) = \log_{2}\left(1 - x^{2}\right)\) — равенство верно при всех \(x\) из промежутка \((-1;\ 1)\).
2) Так как \(x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}\), правая часть определена при \((x - 1)^{2} > 0\) и \(x^{2} + 1 > 0\), то есть при \(x \ne 1\); левая — при \(\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1} > 0\), то есть тоже при \(x \ne 1\).
При \(x \ne 1\) и числитель, и знаменатель дроби положительны, поэтому \(\lg\frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} + 1} = \lg\left(x^{2} - 2x + 1\right) - \lg\left(x^{2} + 1\right)\) — равенство верно при всех \(x\), кроме \(x = 1\).
3) Правая часть определена при \(2 - x > 0\), то есть при \(x < 2\); левая — при \((x - 2)^{2} > 0\), то есть при \(x \ne 2\). Обе части определены при \(x < 2\).
При \(x < 2\) число \(2 - x\) положительно, поэтому \(2\log_{5}(2 - x) = \log_{5}(2 - x)^{2}\), а \((2 - x)^{2} = x^{2} - 4x + 4\) — равенство верно при \(x < 2\).
4) Обе части определены при \(|x - 2| > 0\), то есть при \(x \ne 2\).
При \(x \ne 2\) число \(|x - 2|\) положительно, поэтому \(2\log_{5}|x - 2| = \log_{5}|x - 2|^{2} = \log_{5}(x - 2)^{2} = \log_{5}\left(x^{2} - 4x + 4\right)\). Модуль снимает ограничение на знак разности \(x - 2\), и равенство верно при всех \(x\), кроме \(x = 2\).
Ответ: 1) \(-1 < x < 1\); 2) \(x \ne 1\); 3) \(x < 2\); 4) \(x \ne 2\).
Равенство верно при тех значениях \(x\), при которых определены обе его части и их значения совпадают. Поэтому в каждом пункте сначала найдём, где определена левая часть, где — правая, а потом проверим равенство на общем множестве.
1) Правая часть определена при \(1 - x > 0\) и \(1 + x > 0\), то есть при \(-1 < x < 1\). Левая часть определена при \(1 - x^{2} > 0\), то есть на том же промежутке \((-1;\ 1)\).
При \(-1 < x < 1\) оба числа \(1 - x\) и \(1 + x\) положительны, поэтому по свойству логарифма произведения \(\log_{2}(1 - x) + \log_{2}(1 + x) = \log_{2}(1 - x)(1 + x) = \log_{2}\left(1 - x^{2}\right)\). Значит, равенство верно при всех \(x\) из промежутка \((-1;\ 1)\).
2) Так как \(x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}\), правая часть определена при \((x - 1)^{2} > 0\) и \(x^{2} + 1 > 0\), то есть при \(x \ne 1\). Левая часть определена при \(\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1} > 0\), то есть тоже при \(x \ne 1\).
При \(x \ne 1\) и числитель, и знаменатель дроби положительны, поэтому по свойству логарифма частного \(\lg\frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} + 1} = \lg\left(x^{2} - 2x + 1\right) - \lg\left(x^{2} + 1\right)\). Значит, равенство верно при всех \(x\), кроме \(x = 1\).
3) Правая часть определена при \(2 - x > 0\), то есть при \(x < 2\). Левая часть определена при \((x - 2)^{2} > 0\), то есть при \(x \ne 2\). Обе части определены при \(x < 2\).
При \(x < 2\) число \(2 - x\) положительно, поэтому \(2\log_{5}(2 - x) = \log_{5}(2 - x)^{2}\), а \((2 - x)^{2} = x^{2} - 4x + 4\). Значит, равенство верно при \(x < 2\).
4) Правая часть определена при \(|x - 2| > 0\), то есть при \(x \ne 2\); при том же условии определена и левая часть.
При \(x \ne 2\) число \(|x - 2|\) положительно, поэтому \(2\log_{5}|x - 2| = \log_{5}|x - 2|^{2} = \log_{5}(x - 2)^{2} = \log_{5}\left(x^{2} - 4x + 4\right)\). Модуль снимает ограничение на знак разности \(x - 2\), и равенство верно при всех \(x\), кроме \(x = 2\).
Ответ: 1) \(-1 < x < 1\); 2) \(x \ne 1\); 3) \(x < 2\); 4) \(x \ne 2\).
