Страница 38 номер 4.29, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите значение выражения: 1) \(\log_{7}\sin\frac{\pi}{5} \cdot \log_{\sin\frac{\pi}{5}}49\); 2) \(\log_{3}\cos^{2}\frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos\frac{\pi}{9}}9\).
1) Так как \(0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}\), то \(0 < \sin\frac{\pi}{5} < 1\): это число может быть основанием логарифма, а \(\log_{7}\sin\frac{\pi}{5} \ne 0\).
Во втором множителе перейдём к основанию 7: \(\log_{\sin\frac{\pi}{5}} 49 = \frac{\log_{7} 49}{\log_{7}\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{2}{\log_{7}\sin\frac{\pi}{5}}\), поэтому произведение равно \(\log_{7}\sin\frac{\pi}{5} \cdot \frac{2}{\log_{7}\sin\frac{\pi}{5}} = 2\).
2) Так как \(0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2}\), то \(0 < \cos\frac{\pi}{9} < 1\). Косинус здесь положителен, поэтому показатель степени выносится за знак логарифма без модуля: \(\log_{3}\cos^{2}\frac{\pi}{9} = 2\log_{3}\cos\frac{\pi}{9}\), причём \(\log_{3}\cos\frac{\pi}{9} \ne 0\).
Во втором множителе перейдём к основанию 3: \(\log_{\cos\frac{\pi}{9}} 9 = \frac{\log_{3} 9}{\log_{3}\cos\frac{\pi}{9}} = \frac{2}{\log_{3}\cos\frac{\pi}{9}}\), поэтому произведение равно \(2\log_{3}\cos\frac{\pi}{9} \cdot \frac{2}{\log_{3}\cos\frac{\pi}{9}} = 4\).
Ответ: 1) 2; 2) 4.
Вычислите значение выражения: 1) \(\log_{7}\sin\frac{\pi}{5} \cdot \log_{\sin\frac{\pi}{5}}49\); 2) \(\log_{3}\cos^{2}\frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos\frac{\pi}{9}}9\).
1) Так как \(0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}\), то \(0 < \sin\frac{\pi}{5} < 1\): это число положительно и отлично от единицы, поэтому оно может быть основанием логарифма, а \(\log_{7}\sin\frac{\pi}{5} \ne 0\).
Во втором множителе перейдём к основанию 7: \(\log_{\sin\frac{\pi}{5}} 49 = \frac{\log_{7} 49}{\log_{7}\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{2}{\log_{7}\sin\frac{\pi}{5}}\). Имеем:
\[\log_{7}\sin\frac{\pi}{5} \cdot \log_{\sin\frac{\pi}{5}} 49 = \log_{7}\sin\frac{\pi}{5} \cdot \frac{2}{\log_{7}\sin\frac{\pi}{5}} = 2.\]
2) Так как \(0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2}\), то \(0 < \cos\frac{\pi}{9} < 1\). Косинус здесь положителен, поэтому показатель степени выносится за знак логарифма без модуля: \(\log_{3}\cos^{2}\frac{\pi}{9} = 2\log_{3}\cos\frac{\pi}{9}\), причём \(\log_{3}\cos\frac{\pi}{9} \ne 0\).
Во втором множителе перейдём к основанию 3: \(\log_{\cos\frac{\pi}{9}} 9 = \frac{\log_{3} 9}{\log_{3}\cos\frac{\pi}{9}} = \frac{2}{\log_{3}\cos\frac{\pi}{9}}\). Имеем:
\[\log_{3}\cos^{2}\frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos\frac{\pi}{9}} 9 = 2\log_{3}\cos\frac{\pi}{9} \cdot \frac{2}{\log_{3}\cos\frac{\pi}{9}} = 4.\]
Ответ: 1) 2; 2) 4.
