Страница 40 номер 4.50, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите: 1) \(\log_{8} 9\), если \(\log_{12} 18 = a\); 2) \(\log_{5} 6\), если \(\lg 2 = a\), \(\lg 3 = b\).
1) Свяжем логарифм из условия и логарифм из вопроса через общее звено — число \(\log_{2} 3\).
\(\log_{12} 18 = \frac{\log_{2} 18}{\log_{2} 12}\), где \(18 = 2 \cdot 3^{2}\) и \(12 = 2^{2} \cdot 3\), поэтому \(\log_{2} 18 = 1 + 2\log_{2} 3\), \(\log_{2} 12 = 2 + \log_{2} 3\) и \(a = \frac{1 + 2\log_{2} 3}{2 + \log_{2} 3}\).
Здесь \(a \ne 2\): равенство \(a = 2\) означало бы \(1 + 2\log_{2} 3 = 4 + 2\log_{2} 3\), чего быть не может. Тогда \(a\left(2 + \log_{2} 3\right) = 1 + 2\log_{2} 3\); \(2a + a\log_{2} 3 = 1 + 2\log_{2} 3\); \((a - 2)\log_{2} 3 = 1 - 2a\); \(\log_{2} 3 = \frac{1 - 2a}{a - 2} = \frac{2a - 1}{2 - a}\).
Далее \(\log_{8} 9 = \log_{2^{3}} 3^{2} = \frac{1}{3}\log_{2} 3^{2} = \frac{2}{3}\log_{2} 3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2a - 1}{2 - a} = \frac{2(2a - 1)}{3(2 - a)}\).
2) \(\log_{5} 6 = \frac{\lg 6}{\lg 5}\), где \(\lg 6 = \lg 2 + \lg 3 = a + b\), а \(\lg 5 = \lg\frac{10}{2} = \lg 10 - \lg 2 = 1 - a\). Значит, \(\log_{5} 6 = \frac{a + b}{1 - a}\).
Ответ: 1) \(\frac{2(2a - 1)}{3(2 - a)}\); 2) \(\frac{a + b}{1 - a}\).
Найдите: 1) \(\log_{8} 9\), если \(\log_{12} 18 = a\); 2) \(\log_{5} 6\), если \(\lg 2 = a\), \(\lg 3 = b\).
1) Логарифм в условии и логарифм в вопросе взяты по разным основаниям, поэтому свяжем их через общее звено — число \(\log_{2} 3\): сначала выразим через \(a\) его, а уже потом искомый логарифм.
Перейдём в условии к основанию 2: \(\log_{12} 18 = \frac{\log_{2} 18}{\log_{2} 12}\). Так как \(18 = 2 \cdot 3^{2}\) и \(12 = 2^{2} \cdot 3\), то \(\log_{2} 18 = 1 + 2\log_{2} 3\) и \(\log_{2} 12 = 2 + \log_{2} 3\). Значит, \(a = \frac{1 + 2\log_{2} 3}{2 + \log_{2} 3}\).
Заметим, что \(a \ne 2\): равенство \(a = 2\) означало бы \(1 + 2\log_{2} 3 = 4 + 2\log_{2} 3\), чего быть не может. Решим полученное равенство относительно \(\log_{2} 3\): \(a\left(2 + \log_{2} 3\right) = 1 + 2\log_{2} 3\); \(2a + a\log_{2} 3 = 1 + 2\log_{2} 3\); \((a - 2)\log_{2} 3 = 1 - 2a\); \(\log_{2} 3 = \frac{1 - 2a}{a - 2} = \frac{2a - 1}{2 - a}\).
Теперь \(\log_{8} 9 = \log_{2^{3}} 3^{2} = \frac{1}{3}\log_{2} 3^{2} = \frac{2}{3}\log_{2} 3\). Подставив найденное значение, получаем: \(\log_{8} 9 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2a - 1}{2 - a} = \frac{2(2a - 1)}{3(2 - a)}\).
2) Перейдём к основанию 10: \(\log_{5} 6 = \frac{\lg 6}{\lg 5}\). Числитель равен \(\lg 6 = \lg 2 + \lg 3 = a + b\), а знаменатель — \(\lg 5 = \lg\frac{10}{2} = \lg 10 - \lg 2 = 1 - a\). Значит, \(\log_{5} 6 = \frac{a + b}{1 - a}\).
Ответ: 1) \(\frac{2(2a - 1)}{3(2 - a)}\); 2) \(\frac{a + b}{1 - a}\).
