Страница 39 номер 4.45, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Члены геометрической прогрессии являются положительными числами. Докажите, что логарифмы последовательных членов этой прогрессии по любому основанию образуют арифметическую прогрессию.
Пусть \(b_{1}\), \(b_{2}\), \(b_{3}\), … — геометрическая прогрессия с положительными членами, \(q\) — её знаменатель. Так как \(q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}\), а числитель и знаменатель этой дроби положительны, то \(q > 0\).
Возьмём произвольное основание \(a\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\), и рассмотрим последовательность \(c_{n} = \log_{a} b_{n}\): все её члены определены, поскольку члены прогрессии положительны.
Разность соседних членов: \(c_{n + 1} - c_{n} = \log_{a} b_{n + 1} - \log_{a} b_{n} = \log_{a}\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \log_{a} q\).
Она не зависит от номера \(n\), а последовательность с одной и той же разностью соседних членов и есть арифметическая прогрессия. Значит, логарифмы последовательных членов геометрической прогрессии с положительными членами образуют арифметическую прогрессию с разностью \(\log_{a} q\), что и требовалось доказать.
Ответ: логарифмы последовательных членов геометрической прогрессии по любому основанию \(a\) образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна \(\log_{a} q\), где \(q\) — знаменатель данной геометрической прогрессии.
Члены геометрической прогрессии являются положительными числами. Докажите, что логарифмы последовательных членов этой прогрессии по любому основанию образуют арифметическую прогрессию.
Пусть \(b_{1}\), \(b_{2}\), \(b_{3}\), … — геометрическая прогрессия, все члены которой положительны, а \(q\) — её знаменатель. Так как \(q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}\), а числитель и знаменатель этой дроби положительны, то \(q > 0\).
Возьмём произвольное основание \(a\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\), и рассмотрим последовательность \(c_{n} = \log_{a} b_{n}\). Все её члены определены, поскольку члены прогрессии положительны.
Найдём разность соседних членов новой последовательности. По свойству логарифма частного для любого номера \(n\) получаем: \(c_{n + 1} - c_{n} = \log_{a} b_{n + 1} - \log_{a} b_{n} = \log_{a}\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \log_{a} q\).
Разность \(c_{n + 1} - c_{n}\) не зависит от номера \(n\) и равна \(\log_{a} q\). А последовательность, у которой разность соседних членов одна и та же, и есть арифметическая прогрессия. Значит, логарифмы последовательных членов геометрической прогрессии с положительными членами образуют арифметическую прогрессию с разностью \(\log_{a} q\), что и требовалось доказать.
Ответ: логарифмы последовательных членов геометрической прогрессии по любому основанию \(a\) образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна \(\log_{a} q\), где \(q\) — знаменатель данной геометрической прогрессии.
