Страница 40 номер 4.46, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Выразите \(\log_{ab} x\) через \(\log_{a} x\) и \(\log_{b} x\).
Пусть \(a > 0\), \(b > 0\), \(a \ne 1\), \(b \ne 1\), \(ab \ne 1\), \(x > 0\) и \(x \ne 1\): тогда все встречающиеся логарифмы определены, а числа \(\log_{a} x\), \(\log_{b} x\) и \(\log_{x} ab\) отличны от нуля.
Числа \(\log_{ab} x\) и \(\log_{x} ab\) взаимно обратны, поэтому \(\log_{ab} x = \frac{1}{\log_{x} ab}\). Далее \(\log_{x} ab = \log_{x} a + \log_{x} b\), причём \(\log_{x} a = \frac{1}{\log_{a} x}\) и \(\log_{x} b = \frac{1}{\log_{b} x}\), значит,
\[\log_{x} ab = \frac{1}{\log_{a} x} + \frac{1}{\log_{b} x} = \frac{\log_{a} x + \log_{b} x}{\log_{a} x \cdot \log_{b} x}.\]
Перевернём дробь:
\[\log_{ab} x = \frac{1}{\log_{x} ab} = \frac{\log_{a} x \cdot \log_{b} x}{\log_{a} x + \log_{b} x}.\]
Ответ: \(\frac{\log_{a} x \cdot \log_{b} x}{\log_{a} x + \log_{b} x}\).
Выразите \(\log_{ab} x\) через \(\log_{a} x\) и \(\log_{b} x\).
Пусть \(a > 0\), \(b > 0\), \(a \ne 1\), \(b \ne 1\), \(ab \ne 1\), \(x > 0\) и \(x \ne 1\): при этих условиях определены все встречающиеся ниже логарифмы, а числа \(\log_{a} x\), \(\log_{b} x\) и \(\log_{x} ab\) отличны от нуля.
Числа \(\log_{ab} x\) и \(\log_{x} ab\) взаимно обратны, поэтому \(\log_{ab} x = \frac{1}{\log_{x} ab}\). Логарифм произведения разложим в сумму: \(\log_{x} ab = \log_{x} a + \log_{x} b\), а каждое слагаемое снова заменим обратным числом: \(\log_{x} a = \frac{1}{\log_{a} x}\), \(\log_{x} b = \frac{1}{\log_{b} x}\). Значит,
\[\log_{x} ab = \frac{1}{\log_{a} x} + \frac{1}{\log_{b} x} = \frac{\log_{a} x + \log_{b} x}{\log_{a} x \cdot \log_{b} x}.\]
Осталось перевернуть полученную дробь:
\[\log_{ab} x = \frac{1}{\log_{x} ab} = \frac{\log_{a} x \cdot \log_{b} x}{\log_{a} x + \log_{b} x}.\]
Ответ: \(\frac{\log_{a} x \cdot \log_{b} x}{\log_{a} x + \log_{b} x}\).
