Страница 45 номер 5.10, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке: 1) \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\), \(\left[\frac{1}{9};\ 3\right]\); 2) \(y = \lg x\), \([1;\ 1000]\).
Логарифмическая функция непрерывна и монотонна, поэтому наибольшего и наименьшего значений на отрезке она достигает в его концах.
1) Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы — функция убывающая. \(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = 2\) — наибольшее значение; \(\log_{\frac{1}{3}} 3 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = -1\) — наименьшее.
2) Основание 10 больше единицы — функция возрастающая. \(\lg 1 = 0\) — наименьшее значение; \(\lg 1000 = \lg 10^{3} = 3\) — наибольшее.
Ответ: 1) наибольшее значение 2, наименьшее значение \(-1\); 2) наибольшее значение 3, наименьшее значение 0.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке: 1) \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\), \(\left[\frac{1}{9};\ 3\right]\); 2) \(y = \lg x\), \([1;\ 1000]\).
Логарифмическая функция непрерывна и монотонна, поэтому наибольшего и наименьшего значений на отрезке она достигает в его концах.
1) Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывающая: наибольшее значение — в левом конце отрезка, наименьшее — в правом.
\(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = 2\) — наибольшее значение; \(\log_{\frac{1}{3}} 3 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = -1\) — наименьшее значение.
2) Основание 10 больше единицы, функция \(y = \lg x\) возрастающая: наименьшее значение — в левом конце отрезка, наибольшее — в правом.
\(\lg 1 = 0\) — наименьшее значение; \(\lg 1000 = \lg 10^{3} = 3\) — наибольшее значение.
Ответ: 1) наибольшее значение 2, наименьшее значение \(-1\); 2) наибольшее значение 3, наименьшее значение 0.
